Integral und Flächeninhalt |
| 09.02.2015, 14:07 | pusteblume96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integral und Flächeninhalt Der Graph von f mit f(x)= x^2, die Tagente an f in P (a / f(a) ) und die y-achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A= 1/3a^2. Beweisen sie es. Ich weiß nicht wie ich es beweisen soll und komme nicht weiter 
Hoffe jemand könnte mir erklären wie ich es am besten beweisen sollte. Meine Ideen: Habe mir überlegt vlt. die Tagentengleichung rauszufinden. y = mx * b f´(a) = 2a = m |
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| 09.02.2015, 14:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Integral und Flächeninhalt Das mit der Tangentengleichung ist schon mal eine gute Idee. Alledings lautet die Gleichung allgemein: y = m*x + b Das m hast du ja jetzt schon. 
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| 09.02.2015, 14:49 | pusteblume96 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe die Tagentengleichung ausgerechnet das wäre : y= 2ax-a^2 und was mache ich jetzt ? |
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| 09.02.2015, 15:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt brauchst du den Schnittpunkt der Tangentengleichung mit der y-Achse. Und dann mußt du dir überlegen, wie du die eingeschlossene Fläche berechnen kannst. EDIT: muß mich jetzt leider ausklinken. |
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| 09.02.2015, 15:30 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann hänge ich mich mal rein. Ich würde dir folgendes empfehlen: Verschiebe die Funktion soweit in Richtung der positiven y-Achse, dass die Tangente im Punkt durch den Koordinatenursprung geht. Dann hat deine Parabel die Gleichung und die Tangente die Gleichung y=2ax. Die Fläche ändert sich dadurch nicht. Der Vorteil ist, dass du nicht über Nullstellen der Tangente integrieren musst. Die Fläche wäre dann |
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| 09.02.2015, 15:35 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist eben noch aufgefallen, dass a ja auch negativ sein kann. Du müsstest also noch den Betrag des Integrals nehmen oder eine Fallunterscheidung machen und im Falle a<0 die Integrationsgrenzen vertauschen. |
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| 10.02.2015, 07:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Verschiebung kann man sich sparen, denn diese wird mit dem Integral automatisch miterledigt. Aufgrund der Symmatrie zur y-Achse reicht es auch, nur a > 0 zu betrachten.
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| 10.02.2015, 08:10 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast vollkommen recht. Das fiel mir gestern abend ganz spät auch noch ein. Der Integrand ist ja genau derselbe, ob man verschiebt oder nicht. |
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