Grenzwert des Differenzenquotienten bei ln

09.02.2015, 23:55

Steven111

Grenzwert des Differenzenquotienten bei ln

Ich schaue mir gerade ein paar ältere Übungsaufgaben an und bin dabei auf folgenden Grenzwert gestoßen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{ln(3 + h) - ln(3)}{h} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das in den Taschenrechner eingebe erhalte ich 1/3 als Ergebnis,ich sehe aber nicht wie ich konkret darauf kommen kann.Für spätere Prüfungen würde ich gern nochmal wissen,wie man denn solche Grenzwerte verstehen bzw. so vereinfachen kann,dass ich auch ohne Rechner auf das Ergebnis komme.

10.02.2015, 01:08

Ploki

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RE: Wie vereinfache ich einen Grenzwert?
Hallo Steven111!

In diesem Fall ist es sinnvoll einmal "gedanklich" den Grenzübergang zu vollziehen. Stichwort L'Hospital.

lg Ploki

10.02.2015, 07:56

bijektion

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Bei diesem Grenzwert ist wohl eher einzusehen, dass hier ein Differenzenqoutient autaucht Augenzwinkern

10.02.2015, 14:53

mYthos

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.. und dessen Grenzwert ist der Differentialquotient.
Gerade diesen hast du zu berechnen und deswegen ist hier L'Hospital NICHT zu verwenden, denn dies setzt bereits die Kenntnis der Ableitung voraus!

Also muss der Grenzwert des Differenzenquotienten auf anderem Wege ermittelt werden (setze besser allg: 3 --> x):

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln \frac {x+h} x} h = \lim_{h \to 0} \frac{\ln (1+\frac h x)} h = \text{ (mit x erweitern) } = \lim_{h \to 0} \frac{x \ln (1+\frac h x)} h \frac 1 x = \lim_{h \to 0} \frac 1 x \ln (1 + \frac h x)^{\frac x h} = \frac 1 x \lim_{h \to 0} \ldots \end{eqnarray*}$

Und jetzt sollte dir bereits etwas auffallen (vgl. die Grenzwertdefinition von e) ... (zum Schluß anstatt x = 3 einsetzen)

mY+

11.02.2015, 17:53

Steven111

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Sry,dass ich jetzt erst antworte.Ich muss sagen,diese Rechenoperationen beherrsche ich echt nicht gut,in einem Test würde ich wohl nicht zeitig auf das Ergebnis kommen.

Ich verstehe das jetzt ungefähr so:

$\begin{eqnarray*} ln(1+\frac{h}{x}) \end{eqnarray*}$ entspricht 1,da der Term in der Klammer e entspricht,also ist ein Drittel von 1 das Ergebnis?

12.02.2015, 01:00

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...

$\begin{eqnarray*} \ldots = \lim_{h \to 0} \frac 1 x \ln (1 + \frac h x)^{\frac x h} = \frac 1 x \lim_{h \to 0} \ldots \end{eqnarray*}$

Und jetzt sollte dir bereits etwas auffallen (vgl. die Grenzwertdefinition von e) ... (zum Schluß anstatt x = 3 einsetzen)

mY+

So weit stand es schon da.
Und nun ist der Grenzwert des Ausdruckes unter dem $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ !

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac 1 x \ln (1 + \frac h x)^{\frac x h} = \frac 1 x \lim_{h \to 0} \ln (1 + \frac h x)^{\frac x h} = \frac 1 x \cdot \ln e = \frac 1 x \cdot 1 \end{eqnarray*}$ [Den Ausdruck 1/x kann vor den limes ziehen, weil dieser ja von h unabhängig ist]

Ja. Somit lautet der Grenzwert allgemein $\begin{eqnarray*} \frac 1 x \end{eqnarray*}$ , bei $\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$ ist er halt dann $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ , ja.

Dies geht konform mit der Tatsache, dass die Ableitung (der Differentialquotient) von $\begin{eqnarray*} f(x) = \ln x \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac 1 x \end{eqnarray*}$ ist.

mY+

12.02.2015, 01:42

Steven111

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Vielen Dank.

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