Volumen eines Trinkglases

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McSniper90 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Trinkglases
Meine Frage:
Durchmesser des anfanges ist genau 1cm das habe ich auf der zeichnung vergessen.

Wie kann ich das Volum dieses Körpers berechnen (unten ist es ein Zylinder und oben geht ist in einer Parabelform auseinander)?

Wie hoch würden 0,20L Wasser in dem Glas stehen

Meine Ideen:
Als erstes muss ich wohl das Volum des Zylinders berechnen: 2,74cm^3
Dann würde ich das KS direkt am Anfang der Steigung ansetzen und die X-Achse direkt in der Mitte des Glases. Da ich nachher das Volum nur noch x2 nehmen muss.

daraus bekomme ich.
f(0)= 1
f(10) = 7

nun verlassen mich meine Fähigkeiten :-(

Danke für die Hilfe :-)
MCSNIPER92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volum eines Trinkglas
Sorry die Punkte sind
f(0) = 0,5
f(10) = 7

habe irgendwie einen drehen drin gehabt :-)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Knickfrei-Bedingung zu erfüllen, muss im Punkt der Scheitelpunkt der sich anschließenden Parabel liegen, es ist also gemäß Scheitelpuktform

,

der Parameter ist aus ermittelbar.
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

leider komme ich jetzt immer noch nicht weiter sowas habe ich noch nie gesehen :-(
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Er meint nur (genau wie Du), dass die Parabel genau im Berührpunkt zum Zylinder anfängt zu steigen. Das ist aber der Fall, wenn man's so macht wie in Deinem Ansatz.

Ok, dann zur Parabelgleichung (hat HAL ja auch schon angedeutet):

Wir haben
f(0) = 0,5
f(10) = 7

und suchen f(x)=ax²+b

Beide Punkte einsetzen und Gleichung bestimmen.

Viele Grüße
Steffen
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann habe ich:

b = 0,5 da f(0) = 0,5 und eingesetzt 0,5 = 0a^2 + b
7 = 10a^2 + b

dann kann ich für b = 0,5 einsetzen und bekomme folgende Gleichung

6,5 = 10a^2 das jetzt durch 100 damit ich a bekomme.
a = 0,065

dann wäre meine Gleichung:
f(x) = 0,065x^2 + 0,5

sehe ich das so richtig`?
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus:



Jetzt kommst Du weiter, oder?

Viele Grüße
Steffen

PS: die Herleitung mit 7=10a²+b war allerdings mathematisch nicht sehr korrekt, es müsste da, wenn Du den Punkt (10|7) einsetzt, heißen: 7=a*(10²)+b.
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

nein, da ich die Fläche unter der Kurve nicht berechnen kann.

Differenzialrechnung?

ich möchte alles Händisch mit meinem kleinen Taschenrechner (kein CAS) rechnen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, sorry - ich hatte oben die 10cm als Gesamtlänge des Glases gedeutet. Aber die Skizze ist da eindeutig, die Gesamtlänge ist nicht 10cm, sondern 13.5cm.
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich habe mich falsch ausgedrückt.
Ich möchte das Volumen für den 10cm langen Bereich mit einer
Funktionsgleichung von f(x) = 0,065x^2 + 0,5 ausrechnen.

Hast du da evtl Lösungsansätze für mich?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in der Tat berechnet sich die Fläche wie üblich über das Integral:



Und das Volumen ist dann, wie Du sicher weißt,




Viele Grüße
Steffen

PS: HAL, soll ich weitermachen oder willst Du wieder?
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

also wären das

341,386cm^3 ?

und das komplette Glas hätte dann:

2,74cm^3 (Zylinder am Anfang) + 341,386cm^3 = 344,126cm^3

daraus ergibt sich ein Volumen in Litern von genau: 0,34L ???

Und wie sieht es mit der zweiten aufgabe aus? also Welchen Wasserstand wir bei 0,2L haben wenn es aufrecht stehen würde?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Da hat Dein kleiner Taschenrechner die richtigen Zahlen raus. Prima!

Bei der zweiten Aufgabe gehe ich davon aus, dass auch der zylindrische Anteil mitzählt, dass also der Stiel hohl ist. Etwas ungewöhnlich zwar, aber warum sollte man sonst dessen Volumen berechnen.

Die 200cm³ verteilen sich also auf Zylinder und Paraboloid. Du weißt also, weil Du das bestimmte Integral ja geknackt hast, den Zusammenhang zwischen x (das ist ja die Füllhöhe!) und dem Volumen V.

Setz also das entsprechende V ein und löse nach x auf.
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube das umstellen nach X klappt nicht mit meinem Taschenrechner :-( kann man das auch schrifftlich umstellen?

Danke :-)
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich. Berechne die Stammfunktion und setze die Grenzen ein (die untere ist ja netterweise Null). Dann löse die Gleichung. Sie hat zwar den Grad 5, dürfte sich aber mit etwas Überlegung vereinfachen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
PS: HAL, soll ich weitermachen oder willst Du wieder?

Nein, nachdem ich den Mist oben verzapft habe, bleibe ich doch besser draußen. Ich wollte mit meinem letzten Beitrag nur klarstellen, dass man meine Gleichung oben doch besser wieder vergisst. Augenzwinkern
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich überfragt und habe keine Ahnung :-(
Stammfunktion eines Integrals (wie bekomme ich das raus)?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, wenn Ihr noch keine Stammfunktionen und Integrierregeln besprochen habt, ist diese Aufgabe kaum zu lösen, fürchte ich.

Andererseits hast Du es ja auch geschafft, das andere Integral zu knacken. Auch da musst Du ja die Stammfunktion bestimmt haben.

Schlimmstenfalls mach's grafisch und schau, bei welchem x-Wert das Integral den Wert 200 annimmt.
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

wo habe ich denn die standfunktion ausgerechnet? Oder ist die standfunktion die Funktion der Parabel die den Scheitelpunkt direkt am Übergang zum Zylinder des Glases hat?

Und wie kann ich diese dann so umstellen das ich mein v einfach einsetzen kann und x erhalte ?
Grafisch lösen ist nicht erwünscht soll alles schriftlich

Vllt kannst du mir ja etwas weiter helfen
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du berechnet hast (und das hast Du ja weiter oben), musstest Du die Stammfunktion von bestimmen. Ich würde das z.B. so machen:





Da die Untergrenze des Integrals Null ist, ergibt sich



Das ist der Zusammenhang zwischen Füllhöhe und Volumen. Für x=10 ergeben sich z.B. die bekannten 341,386.

Es bleibt daher diese Gleichung zu lösen, wenn wir den Zylinder mal vernachlässigen:



Und die lässt sich nicht analytisch lösen, also nicht über eine einfache Formel. Also entweder probieren oder den Graphen anschauen, oder das Newton-Verfahren verwenden. Eventuell ist ja letzteres gefordert.

Da wir nun allmählich wirklich die Geometrie verlassen, verschiebe ich mal in die Analysis.
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn mir jetzt noch einer sagen kann wie man das nennt also diese Rechnung vom Integral zur Stammfunktion dann wäre ich soweit durch ich möchte mich da einarbeiten.

Danke :-)
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Fachgebiet heißt Analysis. Schau mal in unseren Workshop, wenn Du mehr wissen willst.

Viele Grüße
Steffen
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay Danke da werde ich mich mal einlesen aber ich habe noch ein anderes Problem

Ich habe jetzt mal eine andere Integralgleichung ausgesucht: (leider komme ich mit deiner Rechnung nicht genau auf die Lösung)
Pi * Integral (0,0069*x^2 + 0,75)^2 * dx (die Obergrenze ist 18 und die Untergrenze 0)

Dann löse ich die Binomische Formel und leite das ganze nach oben dann bekomme ich (da die Untere Grenze = 0):
V(x) = Pi * (1/5 * 0,00004761 * x^5 + 1/3* 0,0069 * x^3 + 0,5625x)

leider kommt hier wenn ich für x = 18 einsetze nicht 151,54 raus sondern etwas anderes.
Ich habe nur die Werte etwas geändert (andere Aufgabe nach dem gleichen Prinzip)

Wäre gut wenn mir jemand den fehler zeigen könnte ;-)
Sorry wegen dieser Schreibweise ich habe keine Ahnung wie ich eine andere hinbekomme.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast Du Dich nur beim Binom vertan:



Aber

PS: wegen der Schreibweise lege ich Dir unseren Formeleditor ans Herz.
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider bekomme ich wenn ich das alles korregiert habe folgendes raus:


bei dieser Gleichung müsste für x eigentlich 18 rauskommen hier kommt aber 17,6 raus?
Was habe ich flasch gemacht :-(
McSniper902 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich habe mich wieder vertan nun habe ich es danke :-) für die schnelle Hilfe :-)



was würde sich ändern wenn ich eine Grenze bei 6 hätte? muss ich denn irgendwas anders machen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von McSniper902
was würde sich ändern wenn ich eine Grenze bei 6 hätte? muss ich denn irgendwas anders machen?


Nein, solange die Untergrenze Null ist, setzt Du einfach x=6 und erhältst in diesem Fall V(6)=13,177.
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