Zeigen Sie: aus p | (x²+1) mit p prim. > 2 folgt p ist kongruent zu 1 (mod 4)

10.02.2015, 16:27	BennyOo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen Sie: aus p \| (x²+1) mit p prim. > 2 folgt p ist kongruent zu 1 (mod 4) Meine Frage: Moin, komme bei folgendem Beweis nicht weiter: Man soll zeigen: p \| (x²+1) (mit p prim. > 2 und x $\begin{eqnarray} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ p $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ 1 (mod 4) Meine Ideen: p $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ 1 (mod 4) bedeutet ja: $\begin{eqnarray} \exists k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ sodass p-1=k*4 Habe es also so umgeformt und dann nach p umgestellt, also p=4k+1. Jetzt weiß ich ja im Prinzip, dass die Primzahl die Form 4k+1 haben muss. p \| (x²+1) kann man wie oben zu sehen zu x²+1=kp umstellen. Nun dachte ich mir, setze ich für das p die 4k+1 ein und erhalte dann x²+1=k(4k+1) bzw. x²+1=4k²+k. Nur was genau bringt mir das jetzt bzw. wie kann ich weitermachen? Ist der Ansatz überhaupt richtig?
10.02.2015, 17:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob's was bringt oder nicht, sei mal dahingestellt: Es ist jedenfalls merkwürdig, dass du für zwei inhaltlich voneinander unabhängige Variable beidesmal $\begin{align} k \end{align}$ nimmst, das ist eine unzulässige Einengung: Wenn du schon $\begin{align} p=4k+1 \end{align}$ nennst, dann folgt aus $\begin{align} p \mid (x^2+1) \end{align}$ doch zunächst, dass es eine ganze Zahl $\begin{align} m \end{align}$ mit $\begin{align} x^2+1 = mp = m(4k+1) \end{align}$ gibt. Es gibt keinerlei Veranlassung anzunehmen, dass $\begin{align} m=k \end{align}$ sein muss, überhaupt keine.
10.02.2015, 18:53	BennyOo	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay das stimmt wohl. Also wäre ich jetzt auf diesem Stand: $\begin{eqnarray} x²+1=m(4k+1) \end{eqnarray}$ Gibt es noch irgendwelche Ideen, wie ich jetzt weitermachen kann? Im Internet finde ich direkt zu diesem Problem leider auch keine Lösungsansätze. Das einzige was mir noch einfallen würde: Aus $\begin{eqnarray} x²+1=m(4k+1) \end{eqnarray}$ folgt das $\begin{eqnarray} p\|m(4k+1) \end{eqnarray}$ Dann teilt p doch einen der Faktoren, also $\begin{eqnarray} p\|m \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} p\|(4k+1 \end{eqnarray}$ )
10.02.2015, 19:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz anderer Zugang, aber noch relativ elementar: Sei $\begin{align} p \end{align}$ eine ungerade Primzahl. Aus $\begin{align} -1 \equiv x^2\bmod p \end{align}$ folgt durch Potenzieren mit $\begin{align} \frac{p-1}{2} \end{align}$ $\begin{align} (-1)^{\frac{p-1}{2}} \equiv x^{p-1} \equiv 1 \bmod p \end{align}$ , letzteres wegen Satz von Fermat-Euler. Wegen $\begin{align} -1\not\equiv 1\bmod p \end{align}$ muss damit aber der Exponent $\begin{align} \frac{p-1}{2} \end{align}$ gerade sein.

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