Dimension Z/mod5 mit 25 Elementen

10.02.2015, 21:36

misi94

Dimension Z/mod5 mit 25 Elementen

Meine Frage:
Welche Dimension hat ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ /mod5 Vektorraum mit 25 Elementen?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass grundsätzlich gilt: dimV= dim ker(f)+dim im(f).
Mir ist nur nicht klar, wie ich das darauf anwende.

10.02.2015, 22:35

Captain Kirk

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Zitat:

Ich weiß, dass grundsätzlich gilt: dimV= dim ker(f)+dim im(f).
Mir ist nur nicht klar, wie ich das darauf anwende.

Gar nicht. Es hat mit der Aufgabe nicht wirklich was zu tun. Außer du findest ein f was du hier anwenden willst.

Für einen Körper K ist jeder Vektorraum der Dimension n isomorph zu $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ , dessen zugrunde liegende Menge durch das n-fache kartesische Prodzkt gegeben ist.
Für endliches K kann man also die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ angeben.
Ein Vergleich liefert die hier gesuchte Dimension.

10.02.2015, 22:44

misi94

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Danke für die schnelle Antwort!
Kannst du mir das an Hand des Beispiels erklären? Ich weiß auch da nicht, wie ich das übertragen soll..

11.02.2015, 11:21

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \mathbb F_5=\mathbb Z/5 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ Elemente . $\begin{eqnarray*} 5²=5\cdot 5=25 \end{eqnarray*}$ .

11.02.2015, 12:10

misi94

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und was sagt das über die Dimension aus? Ich weiß, dass die Lösung 2 ist, aber würde gerne wissen, wie man darauf kommt...

11.02.2015, 12:41

Elvis

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Captain Kirk hat schon gesagt, dass der $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ die Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat , also hat der $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5^2 \end{eqnarray*}$ die Dimension $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .
Man kann ihn sich übrigens als Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{5^2} \end{eqnarray*}$ vorstellen, dann hat man ein konkretes Beispiel.

11.02.2015, 14:41

misi94

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Ah, jetzt hat es klick gemacht. Vielen Dank!!!

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