Normierter Raum/Metrischer Raum

10.02.2015, 22:05

Katzenkoko

Normierter Raum/Metrischer Raum

Meine Frage:
hallo,

Ich habe gelesen, dass ein metrischer Raum gleich auch ein normierter Raum ist. Kann mir jdm. Sagen warum und wo es Zusammenhang zwischen den beiden gibt?

Ich habe habe ein Beispiel für einen metrischen Raum, ich nehme immer dafür Strecken und sage die Symmetrie zeigt, wenn ich von a nach b verreisen will, dann ist von a nach b der gleiche Abstand wie von b nach a. Und bei der dreiecksungleichung sage ich, wenn ich einen Umweg dabei über c mache dann bin ich länger unterwegs als wenn ich direkt zu meinem Ziel gehe.

Kann mir jdm ein Beispiel für einen nicht metrischen Raum machen? Und ein Bsp für ein normierten Raum?
danke

Meine Ideen:
Steht oben

10.02.2015, 22:17

10001000Nick1

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RE: Normierter Raum/Metrischer Raum

Zitat:

Original von Katzenkoko
Ich habe gelesen, dass ein metrischer Raum gleich auch ein normierter Raum ist.

Eigentlich müsste es genau anders herum sein.

Ein normierter Raum ist ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , auf dem eine Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_X \end{eqnarray*}$ definiert ist. Diese Norm induziert eine Metrik $\begin{eqnarray*} d_X \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} d_X(x,y):=\|x-y\|_X \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ . Da kann man leicht die Eigenschaften einer Metrik überprüfen. Mit dieser Metrik ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ dann ein metrischer Raum.

Andersrum funktioniert das aber nicht. Ein metrischer Raum ist irgendeine Menge (d.h. nicht unbedingt ein Vektorraum) zusammen mit einer Metrik. Diesen kann man natürlich nicht zwangsläufig zu einem normierten Raum machen.

10.02.2015, 22:25

belllaaa

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Achso stimmt ja genau so meinte ich das auch..sorry..kennst du ein simples Beispiel für einen normierten Raum, welches man schnell in einer mündlichen Prüfung zeigen kann?

10.02.2015, 22:54

10001000Nick1

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Ein Beispiel, das eigentlich jeder kennt, ist z.B. der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit der euklidischen Norm $\begin{eqnarray*} \|x\|=\left(\sum_{k=1}^n x_k^2 \right)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} x=(x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$ ).
Algemeiner erhält man auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} p\in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ eine Norm durch $\begin{eqnarray*} \|x\|_p=\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^\frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ .
Im Grenzfall $\begin{eqnarray*} p\to\infty \end{eqnarray*}$ ergibt sich daraus die Maximumsnorm $\begin{eqnarray*} \|x\|_\infty = \max_{k=1,...,n} |x_k| \end{eqnarray*}$ .
Die p- bzw. Maximumsnormen sind sogar eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ .

Dann würden mir noch die Folgenräume $\begin{eqnarray*} \ell^p=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\ \left|\ \sum_{k=1}^\infty |x_k|^p<\infty \right. \right\} \end{eqnarray*}$ einfallen mit der Norm $\begin{eqnarray*} \left\|(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\right\|_{\ell^p}=\left(\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p\right)^\frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} p\in[1,\infty) \end{eqnarray*}$ ).
$\begin{eqnarray*} \ell^\infty=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\ \left|\ \sup_{k\in\mathbb{N}} |x_k|<\infty \right. \right\} \end{eqnarray*}$ mit der Norm $\begin{eqnarray*} \left\|(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\right\|_{\ell^\infty}=\sup_{k\in\mathbb{N}} |x_k| \end{eqnarray*}$ ist der Raum der beschränkten Folgen (das funktioniert natürlich auch wieder alles mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ).

Dann gibt es auch noch Funktionenräume mit bestimmten Normen; und (etwas "exotischer") in der Funktionalanalysis z.B. normierte Räume von linearen beschränkten Operatoren auf einem normierten Raum.

So, das fällt mir jetzt spontan zu normierten Räumen ein und das sind wohl auch die "bekanntesten". Es gibt aber natürlich noch viel mehr. Bei Interesse einfach mal googlen oder hier fragen. Augenzwinkern

11.02.2015, 10:29

belllaaa

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Ja cool..das ist verständlich und klar..
Und was könnte ich als Beispiel nennen, wenn ich keinen metrischen und keinen normierten raum als einfaches Beispiel nennen will?

11.02.2015, 11:29

10001000Nick1

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Ich habe noch nie gehört, dass jemand nach einem Beispiel für einen nicht-metrischen oder nicht-normierten Raum fragt. verwirrt

Die Frage fände ich auch relativ sinnlos.

11.02.2015, 11:45

belllaaa

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Warum? Ich muss auch solche Beispiele zeigen. Genauso wie nenne ein Beispiel für eine nicht konvergente Cauchyfolge, da muss man auch sagen zum Beispiel im metrischen Raum der rationalen Zahlen gibt es nicht konvergente cauchyfolgen.

11.02.2015, 11:50

10001000Nick1

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Was stellst du dir denn unter einem nicht-metrischen Raum vor? Das wäre doch einfach irgendeine Menge, auf der keine Metrik definiert ist.

11.02.2015, 13:42

Nofeykx

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Verstehe die Frage auch nicht. Eine Banane ist zB kein metrischer Raum. Das meinst du aber wohl nicht. Nur was dann ?

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Normierter Raum/Metrischer Raum

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