Ungleichung zu beweisen

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JWagner Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zu beweisen
Hallo liebe Community,
ich brüte gerade über dem Beweis einer Ungleichung:

Gegeben seien n nichtnegative reelle Zahlen mit die die Ungleichung:
für alle erfüllen.
Man zeige das
gilt.

Meine Idee ist nun folgende:

Ich Quadriere die Ungleichung (da alle Zahlen nichtnegativ sind, ist m.E. keine Fallunterscheidung notwendig).


Die linke Seite ist dabei offensichtlich größer oder gleich

Ich dachte nun, dass ich ggf. zeigen kann, dass dies wiederum größer als der Teil auf der rechten Seite ist. Doch da größer oder gleich fehlt mir der Ansatz.
Bin ich schlicht auf dem Holzweg oder komme ich da noch weiter?

Danke vorab für eure Hilfe!
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Sieh dir mal an, was die Summe der ersten ungeraden Zahlen ist. Anschließend nutzt du, dass für alle stets .

Quadrieren würde ich nicht empfehlen.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist sofort festzustellen, dass die Ungleichung scharf ist, nämlich bei Wahl von , es gibt also nichts derart grob zu verschenken, wie du es dir hier

Zitat:
Original von JWagner

Die linke Seite ist dabei offensichtlich größer oder gleich

Ich dachte nun, dass ich ggf. zeigen kann, dass dies wiederum größer als der Teil auf der rechten Seite ist.

leichtsinnigerweise vorgestellt hast. Nein, hier muss man schon etwas feinsinniger vorgehen. Augenzwinkern
JWagner Auf diesen Beitrag antworten »

Wow - das ist ein klasse Tip Freude

Da stets gilt:



richtig?

Nun müsste ich noch zeigen, dass

gilt.

Was ich weiss ist, dass

Hilft mir das weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JWagner
Nun müsste ich noch zeigen, dass

gilt.

Was dir sicher nicht gelingen wird, weil es i.a. falsch ist.

Ich empfehle dir, erstmal kleinere Brötchen zu backen, d.h. zunächst mal nur den ersten nichttrivialen Fall n=2 zu studieren - aus dem kann man bereits eine Menge lernen. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich gerade mal vergewissert, ob das nicht eine Aufgabe aus dem diesjährigen BWM ist. Augenzwinkern

Ich hab zwar eine Lösung(sskizze), aber die ist ekelhaft lang und auch überhaupt hartes Brot. Hattest du, bijektion, oben schon eine passende Idee, oder war das auch noch nicht völlig durchdacht? verwirrt
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hattest du, bijektion, oben schon eine passende Idee, oder war das auch noch nicht völlig durchdacht? verwirrt

Meine war auch nicht völlig durchdacht, ich habe es falsch gelesen und dann war es nicht wirklich schwer zu zeigen unglücklich
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