Satz von Stokes |
| 11.02.2015, 15:24 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| Satz von Stokes Meine Idee: Gegeben ist eine Kugel mit Radius R (Hier R=1). Die x und y Koordinaten können 0 sein! Linker Teil von Stokes) Wieso sind die Integrationsgrenzen so komisch gewählt? Ich würde von 0 bis 2pi und 0 bis pi integrieren. Ist das denn nicht korrekt? Rechter Teil) Die Parametrisierung der Randkurve einer Kugel ist ja einfach nur ein Kreis. In diesem Fall mit Radius 1. Hier gibt es nun zwei Parametrisierungen. Wieso? Ich denke es gibt zwei, da einmal die x- und einmal die y-Koordinate 0 sein können (Das ist entscheidend!). Das heißt 1. Randkurve über Kugel in der xz-Ebene und 2. Randkurve in der zy-Ebene. Nun, letztendlich denke ich dass mich beide Kurven auf die richtige Lösung bringen, sofern die Orientierung stimmt. Das heißt kurz, ich könnte auch einfach nur eine Randkurve bilden und wenn dessen Orientierung nicht stimmen würde sie einfach umorientieren. Geht das? Dann ist meine letzte Frage dazu, wieso ich für die 2. Randkurve nicht (0,cost,sint) wählen kann? Oder funktioniert das und ist jedoch falsch, daher muss umorientiert werden und es folgt wie in der Musterlösung zb. (0,-cost,sint). (0,cost,-sint) wäre auch richtig! Bitte klärt mich auf!!!! Vielen vielen vielen dank im voraus! |
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| 13.02.2015, 16:16 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
/push, brauche unbedingt Hilfe dabei. /: Ich bin demjenigen der mir das Verständlich macht zu tiefst dankbar! |
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| 13.02.2015, 16:35 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
| RE: Satz von Stokes Ich glaube, deine Probleme identifizieren zu können:
Das stimmt schon mal nicht - in der Aufgabenstellung ist eine Fläche S gegeben, die du dir mal genau anschauen solltest. Auf die kommt es nämlich an, da liegen deine Denkfehler.
Das liegt an der Definition von S. S ist der Teil einer Kugeloberfläche, aber eben nur ein Teil, weil in S vorausgesetzt wird, dass und .
Auch hier dieselbe Problematik: Du hast zwei Möglichkeiten, eine Parametrisierung für den Rand von S zu finden. Deine anderen Möglichkeiten gehen deshalb nicht, weil sie nicht den Rand von S parametrisieren (sondern den Rand einer Menge, die S zwar ähnlich sieht, aber eben doch eine andere Menge ist). Beim Umorientieren bin ich mir unsicher, aber das müsste funktionieren - wenn man es richtig macht (im Prinzip muss man den Definitionsbereich der Kurve "umdrehen", hierbei muss man auf die Vorzeichen achten!). \EDIT: Es könnte hier durchaus sinnvoll sein, wenn du erst mal versuchst, S zu skizzieren, damit du eine Idee hast, wie diese Menge aussieht! |
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| 13.02.2015, 19:00 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Danke schön, du hast mir ein grundlegendes besseres Verständnis dafür gegeben! Ich habe mal die relevante Oberfläche mit rot markiert und die Randkurve mit grün. Die Integrationsgrenzen vom linken Integral habe ich nun verstanden. Es sollte auch möglich sein anstatt -pi/2 bis +pi/2 von 0 bis pi zu integrieren oder? Am besten man schaut von oben auf den Körper drauf und direkt auf den Körper um die Grenzen zu bestimmen (Skizze als Einheitskreis jeweils): Ansonsten habe ich den rest komplett verstanden denke ich (in bezug zum Oberflächenintegral 2. Art). Jetzt zum kurvenintegral 2. Art: Hier brauche ich die Randkurve der Oberfläche. Hier gibt es die zwei die ich von den beiden Sichten aus skizziert habem wobei ich den halben Kreis wählen würde. Jeder Punkt im Raum wird durch (x,y,z) beschrieben. Der Halbkreis befindet sich in der xz-Ebene -> Parametrisierung hierfür wird wahrscheinlich analog zur xy-Ebene (rcosphi,rsinphi,0) sein, wobei in diesem Fall (1cosphi,0,1sinphi) gilt. Wie er auf die andere Randkurve kommt in der Musterlösung verstehe ich nicht...Jetzt als nächster Schritt, sofern alles ok ist bisher, muss ich schauen ob die Orientierung von meiner gewählten Parametrisierung stimmt. Wie funktioniert das genau? Irgendwie bin ich mir doch unsicher mit den Grenzen, da wir ja eigentlich den kompletten Rand haben wollen, der doch 2pi ist, also in diesem Fall lass ich doch den linken Rand weg ... ? Ich denke ich habe ne ganze Menge durch die dazugelernt! Kann zwar etwas falsch sein, aber insgesamt kommt es mir vor die Aufgaben besser zu verstehen, danke schön! |
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| 13.02.2015, 19:51 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Sieht gut aus! Ich könte von Hand nicht so schön zeichnen 
Dann muss man aber auch entsprechend die Parametrisierung ändern, statt cos wäre das dann z.B. sin (beachte, dass diese beiden Funktionen sich im Prinzip nur um in der x-Achse unterscheiden, wenn ma richtig verschiebt). Dazu aber auch mehr im nächsten Punkt:
Man kann das auch rechnerisch hinbekommen und kann ja die Menge direkt in Kugelkoordinaten umschreiben. Dann kann man sich auch gleich überlegen, wie die Intervalle für die Winkel aussehen müssen. Aber du kannst das natürlich auch aus deiner Skizze ablesen.
Genauso wie auf die erste. In welche Ebene liegt sie? Dann alles weitere überlegen...
Das wird doch in der Lösung vorgerechnet... ich bin da auch nicht so sattelfest in den Bezeichnungen, kann dir daher nicht mehr dazu sagen.
Wieso? Schau dir doch noch mal die beiden Wege an, berechne ihre Anfangs- und Endpunkte und überlege dir, wie sie dazwischen verlaufen. Dann siehst du, dass die so passen (und nicht anders). Es dürfte dann sogar klar sein, dass einer der beiden Wege nicht richtig orientiert sein kann, da beide Wege denselben Anfangs- (und End-)punkt haben.
Man merkt gleich, dass dir einiges klarer geworden ist
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| 13.02.2015, 20:14 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Danke für die Antwort. Ich werde mich jetzt erst einmal mit ein paar Stokes Integralsätzen auseinandersetzen. Aufjedenfall habe ich es jetzt viel besser verstanden. Ich hätte da jedoch noch eine erstmals letzte Frage: Wieso genau wird von -pi/2 bis pi/2 bei dem Flächenintegral integriert und wieso wird 0 bis pi nicht zugelassen. Das habe ich irgendwie nicht verstanden, denn von 2pi/2 bis nach 2pi ist ja immerhin auch erlaubt. Ich will damit sagen das dort negative Bogenmaße vorkommen und beim anderen nicht.. |
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| 13.02.2015, 20:51 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, weil die Bezeichnungen mir einerseits nicht geläufig sind und andererseits die Stokes-Thematik schon etwas länger bei mir her ist, aber ich denke, das ganze ist genauso wie bei den Kugelkoordinaten (bzw. hat das wohl damit zu tun): Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Kugel(oberfläche) zu parametrisieren, siehe z.B. hier auf Wikipedia. In der Lösung scheint einfach eine andere Parametrisierung gewählt worden zu sein (cos und sin ausgetauscht und dann entsprechend die Bereiche angepasst). Wie genau sehe ich leider selbst nicht, aber man kann sich das vielleicht ganz gut selbst überlegen, indem man einfach mal rumprobiert 
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| 13.02.2015, 21:54 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Okay danke sehr. Ich würde gerne noch auf eine Art Aufgabe kommen, die so etwas ähnlich öfter drankommt. Darin ist die Menge immer aus mehreren Körpern gegeben. Eine Lösung ist vorhanden. Ich selbst wusste bereits, dass das eine ein Zylinder ist und das andere ein hyperbolisches Paraboloid. Worin besteht jedoch der Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen und woher weiss ich hier ob ich für die Randkurve den Zylinder oder das hyperbolisches Paraboloid parametrisieren muss und analog für das Oberflächenintegral .. Kannst du dazu bitte noch ein paar Worte sagen, da du mir auch bei der anderen Aufgabe sehr geholfen hast.^^ |
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| 16.02.2015, 18:58 | MannyC | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
/push, mich würde halt nur noch interessieren, woher man genau weiss welche funktion die randkurve und welche funktin die oberfläche beschreibt. Meine Vermutung ist ja, dass die Oberfläche immer durch eine Funktion € x,y,z beschrieben wird und die Randkurve € x,y oder yz oder xz .. Das haut auch hin bei allen Aufgaben... trotzdem würde mich eure Meinung interessieren. |
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| 16.02.2015, 20:13 | magic_hero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Hab es erst jetzt gerade gesehen, dass du etwas geschrieben hast...
"Das eine" und "das andere" ist hier etwas ungenau bzw. könntest du da etwas missverstehen (und darauf deutet der Rest deines Beitrags hin), daher hier mein Einwand: Die Menge S ist ein Schnitt aus einem Zylinder mit einem hyperbolischen Paraboloid, da alle Punkte der Menge ja beide (Un-)Gleichungen erfüllen müssen.
Schau dir noch mal ganz genau die Skizze an: Da ist keine Randkurve eines Zylinders abgebildet (jedenfalls nicht explizit bzw. ist diese unwichtig), sondern die Randkurve der Menge S. Und nur die ist ja im Zusammenhang mit der Aufgabe wichtig!
Das dürfte im Allgemeinen für die "Randkurven" (eigentlich gibt es ja nur eine, manchmal ist es aber einfacher, wenn man sie aus mehreren "zusammensetzt") nicht möglich sein und hier im Speziellen sollte es das auch nicht, wenn ich mir die Skizze anschaue. Das ist ja aber auch gar nicht wichtig, denn die Menge beinhaltet ja schon alle wichtigen Informationen. Hierauf wird eine entsprechende Koordinatentransformation angewendet, um dann geschickt über die Menge bzw. ihren Rand integrieren zu können. Obwohl du ja nach eigener Angabe eine Lösung hast, diese Aufgabe (bzw. ein Teil davon) wurde schon mal hier besprochen: Zylinder erkennen mit Höhe und Radius |
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