Partialsumme Fehlerabschätzung

11.02.2015, 16:21	p3l4h0	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialsumme Fehlerabschätzung bei der Partialsumme: $\begin{eqnarray} S_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k+1}{k^2 +1} \end{eqnarray}$ muss ich rausfinden ab welchem index n Sich die Partialsumme Sn vom Grenzwert S der Reihe um weniger als 0.1 unterscheidet. Ansatz: $\begin{eqnarray} \|S-S_n\| \leq a_n +1 \end{eqnarray}$ Irgenwie die differenz zwischen den 2 Summen sobald sie sich um 0.1 unterscheiden. Danke
11.02.2015, 16:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialsumme Fehlerabschätzung Ich sehe zumindest nicht mit dem ersten Blick, ob $\begin{eqnarray} k \mapsto \frac { k+1} {k^2+1} \end{eqnarray}$ monoton ist. Ohne wird Konvergenz zu beweisen auch nicht wirklich angenehm. Unter dieser Voraussetzung kann man aber leicht sehen, dass $\begin{eqnarray} \| S - S_n \| \leq \|S_n - S_{n-1} \| \end{eqnarray}$ .
11.02.2015, 18:25	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialsumme Fehlerabschätzung Beweise zunächst, dass $\begin{eqnarray} \frac{k+1}{k^2+1} \end{eqnarray}$ monoton abnimmt, wenn $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ wächst. Beachte außerdem, dass abwechselnd der genannte Term addiert und der nächste subtrahiert wird. Da dieser aber betragsmäßig kleiner ist als sein Vorgänger, gilt, dass die neue Summe nach Addition und Subtraktion nicht kleiner ist als die Summe vor diesen beiden Aktionen. Damit hat man mit n ungerade eine untere Schranke für $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Analog erhält man für n gerade eine obere Schranke für $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Zusammen kann der Fehler abgeschätzt werden.
11.02.2015, 19:16	p3l4h0	Auf diesen Beitrag antworten »
danke leider komme ich immer noch nicht auf das Ergebniss. Ich verstehe nicht was sie hier in der Lösung machen. Ich weiß das ich die differenz zwischen dem konvergenzpunkt und dem Punkt wo der Grenzwert kleiner als 0.1 ist. [attach]37208[/attach]

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