Basis angeben

11.02.2015, 17:49	yyxz	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis angeben Meine Frage: Hallo, ich soll zu folgendem die Basis bestimmen: (1,0,2,3),(0,1,-1,1),(2,1,3,7),(0,1,2,3). Meine Ideen: Dazu hab ich zuerst geprüft, ob die Vektoren linear unabhängig sind, und dann, ob die Vektoren ein Erzeugendensystem sind. Dies hab ich wie folgt gemacht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & \| w \\ 0 & 1 & 1 & 1 & \|x \\ 2 & -1 & 3 & 2 & \|y \\ 3 & 1 & 7 & 3& \|z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dies hab ich in Zeilen-Stufen-Form gebracht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & \| w \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \|x-\frac{z-3w-x}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \|y-2w+x-3(\frac{z-3w-x}{2} ) \\ 0 & 0 & 0 & 1& \|\frac{z-3w-x}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraufhin hab ich wie folgt bestimmt: $\begin{eqnarray} \lambda_{4}=\frac{z-3w-x}{2}, \lambda_{3}=t (Parameter), \lambda_{2}= x-\frac{z-3w-x}{2}-t, \lambda_{1}=w-2t \end{eqnarray}$ Wie muss ich das jetzt aufschreiben, damit es sich um eine korrekte Schreibweise für eine Basis handelt?
11.02.2015, 18:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, dass Du Dir soviel Mühe mit der rechten Seite gemacht hast, aber leider muss ich Dir mitteilen, dass das völlig unnötig war. Da Du nur Operationen mit den vier Ausgangsvektoren vornimmst, ergibt sich aus der Zeilenstufenform automatisch die Basis des Raums. Nämlich alle Nicht-Null-Zeilen.
11.02.2015, 22:32	yyxz	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, na toll Also ist eine Basis: (1,0,2,3), (0,1,-1,1), (0,1,2,3) weil die dritte Zeile ja die Nullzeile ist? Funktioniert dieses Verfahren immer?
11.02.2015, 22:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage ist hier richtig, allerdings eher zufällig. Du hast die Vektoren am Anfang als Spalten aufgeschrieben und dann Zeilenumformungen durchgeführt. Sinnvoller wäre es gewesen die Vektoren gleich als Zeilen zu schreiben. Dann sind die Nicht-Nullzeilen der Stufenform auch wirklich Basisvektoren. Alternativ kannst Du auch die Ausgangszeilen nehmen.
11.02.2015, 23:10	yyxz	Auf diesen Beitrag antworten »
also wäre es sinnvoller, die Matrix direkt so zu schreiben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und diese in Zeilen-Stufen-Form zu bringen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 &3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Aber ich komme doch bei beiden Verfahren auf die Lösung, dass der erste, zweite und vierte Vektor eine Basis sind. Also gilt mein erstes Verfahren im Allgemeinen nicht?
11.02.2015, 23:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du betrachtest dann den Lösungsraum der Gleichung $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^4 \lambda_k v_k=0 \end{eqnarray}$ Die Nullzeile ergibt einen freien Parameter und somit ist der zugehörige Vektor durch die anderen nichttrivial darstellbar. Anders formuliert: Auf der Suche nach einer Basis können wir diesen Vektor außer acht lassen. Die von mir beschriebene Vorgehensweise bildet Linearkombinationen aus den gegebenen Vektoren und da eine dieser Kombinationen auf den Nullvektor (=Nullzeile) führt, ist der entsprechende Vektor vernachlässigbar. Diese Vorgehensweise ist also direkter. Das Endergebnis sollte aber dasselbe sein.
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