Kurvenintegral in Parameterdarstellung Bogenlänge berechnen

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11.02.2015, 20:18	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral in Parameterdarstellung Bogenlänge berechnen Hallo Leute, ich hätte eine Frage zu zwei Aufgaben. Aufgabe 1: Gegeben ist die ebene Kurve $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \gamma(t)=e^{-2t}\binom{sin(t)}{cos(t)},~t\in I \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Man skizzieren den Bogen $\begin{eqnarray} \Gamma=\{\gamma(t)\|t\in [0,\pi]\} \end{eqnarray}$ und berechne die Länge $\begin{eqnarray} L(\Gamma) \end{eqnarray}$ . Meine Lösung: Den Bogen stelle ich mir als Kreis vor, der bei x=0 die Koordinaten (0,1) hat und dann immer kleiner wird. Wenn ich jetzt von 0 bis 2Pi zeichnen muss, ist es dann ein ganzer kleiner werdender Kreis? Hier weiß ich jetzt nicht so richtig, wie man die Bogenlänge berechnet. Ich habe gelesen, dass man bei einer Kurven in Parameterdarstellung gegeben der Form $\begin{eqnarray} \vec{x}=\binom{x(t)}{y(t)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \int_{t_0}^{t_1}\|\dot{\vec{x}}(t)\|dt \end{eqnarray}$ berechnen kann, aber dann müsste ich hier ja zwei Mal mit Produktregel die Terme ableiten und dann noch von der Wurzel dessen das Integral bilden. Das muss doch sicher einfacher gehen oder? Vielen Dank im Voraus!
11.02.2015, 20:37	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die von dir unten angegebene Formel ist leider nicht ganz korrekt. Insbesondere gilt dies nicht für eine Funktion $\begin{eqnarray} f : I -> \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ . Sieh dir dazu den Wikipedia-Artikel an: http://de.wikipedia.org/w/index.php?titl...%29&redirect=no Hierbei geht es um den Begriff der Bogenlänge und wie man diesen explitit für eine zweidimensionale Funkion ermittelt. Durch einfaches Einsetzen, Quadrieren und unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras sollte sich der Ausdruck zur Berechnung der Bogenlänge vereinfachen lassen. Ich hoffe, der Hinweis ist ausreichend!! Viele Grüße Widderchen
11.02.2015, 20:49	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe jetzt diese Formel gefunden aus dem Artikel: $\begin{eqnarray} L (\alpha, \beta) = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\dot{x}^2+ \dot{y}^2}\; \mathrm{d}t \end{eqnarray}$ , ist das die richtige? Auch wenn ich über den trigonometrischen Pythagoras dann nicht mehr das Problem mit Kosinus und Sinus habe, so muss ich aber immer noch die Wurzel aus der e-Funktion integrieren oder? Vielleicht habe ich immer noch nicht das richtige gefunden. Vielen Dank im Voraus!
11.02.2015, 20:56	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist die richtige Formel!! Nun leite die Funktionen $\begin{eqnarray} x(t) = e^{-2t}sin(t) , y(t) = e^{-2t}cos(t) \end{eqnarray}$ ab.
11.02.2015, 21:18	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann komme ich auf $\begin{eqnarray} \dot{x}(t)=-2e^{-2t}sin(t)+e^{-2t}cos(t)=e^{-2t}(cos(t)-2sin(t)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{y}(t)=-2e^{-2t}cos(t)-e^{-2t}sin(t)=e^{-2t}(sin(t)-2cos(t)) \end{eqnarray}$ Wenn ich das quadrieren bekomme ich: $\begin{eqnarray} (e^{-2t}(cos(t)-2sin(t))^2=e^{-2t}(cos(t)-2sin(t))e^{-2t}(cos(t)-2sin(t))=e^{-4t}(cos^2(t)-4sin(t)cos(t)+4sin^2(t)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (e^{-2t}(sin(t)-2cos(t))^2=e^{-2t}(sin(t)-2cos(t))e^{-2t}(sin(t)-2cos(t))=e^{-4t}(sin^2(t)-4sin(t)cos(t)+4cos^2(t)) \end{eqnarray}$ Wenn ich das addieren würde hätte ich $\begin{eqnarray} e^{-4t}(cos^2(t)+sin^2(t)-8sin(t)cos(t)+4sin^2(t)+4cos^2(t))=e^{-4t}(-8sin(t)cos(t)+5) \end{eqnarray}$ Also müsste ich trotzdem noch $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi}\sqrt{e^{-4t}(-8sin(t)cos(t)+5)}dt \end{eqnarray}$ bilden? Vielen Dank im Voraus! EDIT: Man soll nur den Bogen von $\begin{eqnarray} [0,\pi] \end{eqnarray}$ bestimmen, hatte mich versehen. Ich habe es in der Aufgabenstellung geändert jetzt.
11.02.2015, 21:26	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, was ein negatives Vorzeichen weniger in einer Ableitung anrichten kann, ist durchaus verheerend! In der Ableitung von y(t) fehlt dir tatsächlich ein negatives Vorzeichen. Denn es gilt: $\begin{eqnarray} y^{}(t) = e^{-2t}(-sin(t) - 2cos(t)) \end{eqnarray*}$ Dann sollte die weitere Rechung reibungslos verlaufen!! Viele Grüße Widderchen
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11.02.2015, 21:41	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh stimmt, ich hatte mich schon gewundert, weil die Aufgabe gibt wenig Punkte und kann eigentlich nicht so aufwendig sein. Dann würde wohl $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi}\sqrt{5e^{-4t}}dt=\int_{0}^{\pi}\sqrt{5}e^{-2t}dt=\frac{\sqrt{5}}{-2}e^{-2\pi}-\frac{\sqrt{5}}{-2}e^{-20}=-\frac{\sqrt{5}}{2}e^{-2\pi}+\frac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$ rauskommen? Eine negative Bogelänge, kann nicht angehen oder? Vielen Dank im Voraus! EDIT: Der letzte Teil war natürlich Blödsinn ab: $\begin{eqnarray} 1-\frac{\sqrt{5}}{2} .. \end{eqnarray*}$ habs jetzt entfernt.
11.02.2015, 21:47	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner Rechnung ist wohl ab dem dritten Gleichheitszeichen irgendwo ein $\begin{eqnarray} e^{-2 \pi} \end{eqnarray}$ verloren gegangen! Dann sollte auch keine negative Bogenlänge herauskommen!! Die zu integrierende Funktion ist auch korrekt!! Widderchen
11.02.2015, 21:54	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs jetzt im oberen Beitrag geändert. Das ist dann wohl mein Endergebnis oder? Es gibt noch eine weitere Aufgabe und die hat genauso viele Punkte, aber die habe ich in 2 Zeilen gelöst. Kann ich die auch noch reinstellen? Jetzt habe ich nämlich den Verdacht, dass das nicht richtig sein kann, wenn diese so "aufwendig" ist. Vielen Dank im Voraus!
12.02.2015, 15:17	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, dieses Ergebnis ist korrekt! Falls du ein weiteres Problem hast, solltest du dieses ggf. in einem neuen Post bzw. Thread veröffentlichen. Vielleicht kann ich dir auch bei deinem zweiten Problem behilflich sein. Viele Grüße Widderchen

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