Allgemeine Lösung einer gewöhnlichen, linearen DGL mit const. Koeffizienten überprüfen

12.02.2015, 08:39

Lucho

Allgemeine Lösung einer gewöhnlichen, linearen DGL mit const. Koeffizienten überprüfen

Meine DGL.

$\begin{eqnarray*} my'' + ay' + by = 0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms:

$\begin{eqnarray*} m\lambda^2 +a \lambda + b = 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist die Lösung gegeben als:

$\begin{eqnarray*} y(t) = c_1 e^{\lambda t} + c_2 t e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ :

Das soll überprüft werden. Nun gut. Würde ich sagen zweimal ableiten und in die DGL einsetzen.

$\begin{eqnarray*} y'(t) = \lambda c_1 e^{\lambda t} + c_2 (e^{\lambda t} + t \lambda e^{\lambda t}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(t) = \lambda^2 c_1 e^{\lambda t} + c_2 (2\lambda e^{\lambda t} + t \lambda^2 e^{\lambda t})) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die DGL:

$\begin{eqnarray*} m \lambda^2 c_1 e^{\lambda t} + m c_2 2\lambda e^{\lambda t} + m c_2 t \lambda^2 e^{\lambda t} + a \lambda c_1 e^{\lambda t} + a c_2 e^{\lambda t} + a c_2 t \lambda e^{\lambda t} + b c_1 e^{\lambda t} + b c_2 t e^{\lambda t} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn man durch die e-Fkt. teilt, verschwindet sie aus allen Summanden.

$\begin{eqnarray*} m \lambda^2 c_1 + m c_2 2\lambda + m c_2 t \lambda^2 + a \lambda c_1 + a c_2 + a c_2 t \lambda + b c_1 + b c_2 t = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m \lambda^2 (c_1 + c_2 t) + a \lambda (c_1 + c_2 t) + b (c_1 + c_2 t) + m c_2 2\lambda + a c_2 = 0 \end{eqnarray*}$

So, die Summe der ersten 3 Summanden wird 0. Das geht aus der Bedingung des charakteristischen Polynoms hervor. Es hieß ja:

$\begin{eqnarray*} m\lambda^2 +a \lambda + b = 0 \end{eqnarray*}$

Und wenn ich an die linke Seite ein $\begin{eqnarray*} (c_1 + c_2 t) \end{eqnarray*}$ dranmultiplizieren wird das ja immer noch 0.

Dann bleibt aber immer noch über:

$\begin{eqnarray*} m 2\lambda + a = 0 \end{eqnarray*}$

Hmm. Da stimmt doch was nicht. verwirrt

12.02.2015, 09:03

klarsoweit

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RE: Allgemeine Lösung einer gewöhnlichen, linearen DGL mit const. Koeffizienten überprüfen
Wir betrachten das Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) = mx^2 + a \cdot x + b \end{eqnarray*}$ . Da lambda eine doppelte Nullstelle von f(x) ist, ist auch $\begin{eqnarray*} f'(\lambda) = 0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

12.02.2015, 09:14

Lucho

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RE: Allgemeine Lösung einer gewöhnlichen, linearen DGL mit const. Koeffizienten überprüfen

Zitat:

Original von klarsoweit
Wir betrachten das Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) = mx^2 + a \cdot x + b \end{eqnarray*}$ . Da lambda eine doppelte Nullstelle von f(x) ist, ist auch $\begin{eqnarray*} f'(\lambda) = 0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Ha! Danke. Darauf muss man ja erstmal kommen. Freude

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