Transponierte Matrix

12.02.2015, 11:04

transpo91

Transponierte Matrix

Meine Frage:
Guten Tag,

Sei K ein Körper mit 1+1 ungleich 0. Die Menge der schiefsymmetrischen Matrizen wird definiert durch
M = {A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M(nxn;K) mit $\begin{eqnarray*} ^{T}A = -A \end{eqnarray*}$ }. Zu zeigen ist, dass die Menge M ein Untervektorraum von M(nxn;K) ist. Außerdem soll die Dimension bestimmt werden

Meine Ideen:
Ich kenne es nur so, dass die transponierte Matrix als $\begin{eqnarray*} A^{T} \end{eqnarray*}$ dargestellt wird. Handelt es sich in meiner Aufgabe jetzt um eine andere Matrix, da das T auf der anderen Seite steht? Oder ist es unbedeutend, wo das T steht?

12.02.2015, 11:28

bijektion

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Zitat:

Ich kenne es nur so, dass die transponierte Matrix als $\begin{eqnarray*} A^{T} \end{eqnarray*}$ dargestellt wird. Handelt es sich in meiner Aufgabe jetzt um eine andere Matrix, da das T auf der anderen Seite steht? Oder ist es unbedeutend, wo das T steht?

Da gibt es verschiedene Definitionen.

12.02.2015, 11:32

transpo91

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Aber die Matrix wird trotzdem immer auf die gleiche Weise transponiert?

12.02.2015, 11:41

Ehos

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Ich kenne nur die Schreibweise $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ , wo das T auf der rechten Seite steht.

Zur Dimension folgendes:
Antisymmetrische Matrizen wechseln laut Definition beim Transponieren das Vorzeichen, also $\begin{eqnarray*} a_{ij}=-a_{ji} \end{eqnarray*}$

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 5 & -3 \\ -5 & 0 &2 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da wegen dieser Definition in der Hauptdiagonalen Nullen stehen müssen, hat man maximal n²-n nichtverschwindende Matrixelemente. Davon unterscheiden sich die "gespiegelten" Matrixelemente nur im Vorzeichen. Im obigen Beispiel hat man von den 9 Matrixelementen aalso nur 3 unabhängige. Wieviel unabhängige Matrixelemente (Dimension) hat man also allgemein bei einer antisymmetrsichn nxn-Matrix?

12.02.2015, 11:46

Elvis

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So ist es. Damit lässt sich aber auch sehr leicht der Fall behandeln, dass K die Charakteristik 2 hat, dass also 1+1=0 gilt. Das wirkt sich bezüglich der Dimension nur auf die Hauptdiagonale aus.

12.02.2015, 11:54

Transpo91

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Super, danke! smile

dann haben antisymmetrische nxn Matrizen
$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ unabhängige Matrixelemente... smile

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