Komplexes Wegintegral (Cauchy Integralformel)

Neue Frage »

MannyC Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Wegintegral (Cauchy Integralformel)
Ich würde das im Anhang befindene Integral berechnen. Das Problem liegt jedoch darin, das ich ncht weiss was f(z) ist, dass grünumrandete oder das rotumrandete und warum genau?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexes Wegintegral (Cauchy Integralformel)
hallo,
f(z) ist hier nicht das rotumrandete oder grünumrandete, sondern natürlich der
gesamte bruch e^z/ z^2*(z-1) , und integriert werden soll hier über die kreislinie
mit radius sqrt(3) um den nullpunkt.
Ich habe in meiner studienzeit das thema funktionentheorie leider ausgelassen,
aber ich nehme an es geht hier um den residuensatz.
Und der nenner hat nullstellen bei 0 und -1, beides liegt innerhalb der vorgegeben kreislinie. Dann überleg mal weiter... Augenzwinkern
gruss ollie3
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke sehr für die Antwort. Ich hätte da zwei Fragen:

1. Ich habe es so verstanden das die Cauchy Integralformel benutzt werden kann um unabängig von einem Kreis mit Mitterpunkt a und Radius r das Wegintegral einer gegebenen Komplexen Funktion zu bestimmen. Die Formel dazu lautet

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...ge570/img10.png

, wobei sie nach dem Integral umgeformt werden muss. In diesem Fall sollte mein f(z) entweder das rotumrandete oder das grünumrandete sein.

2. Der Residuensatz ist mit bekannt, jedoch kenne ich das so bzw. so hatten wir es im Zusmamenhang mit den Aufgaben, dass wir diesen für linksseitige/rechtsseitige bzw. zweiseitige Integrale verwenden (z.b. Fouriertransformation).

Wenn ich etwas falsch verstanden habe bitte korrigiere mich.^^

Edit: Jetzt habe ich es genauer verstanden, ich denke man kann beides hier verwenden, wobei der Residuensatz sicherlich etwas ,,umständlicher" wäre. (Wir haben den Residuensatz nicht auf Kreise bezogen gelernt).

Die Windungszahl ist 1 und die Pole (Singularitäten genauer gesagt) hast du bereits genannt. Die Pole die in dem genannten Kreis sind kann ich verwenden um den Residuensatz zu verwenden. In diesem Fall liegen beide im genannten Kreis. Jetzt Residuen Res (f,a) berechnen, wobei a meine Pole sind und das Ergebnis wäre dann 2*pi*i*(Res(f,0)+Res(f,-1)). Ist das richtig so alles gesagt und getan?

Mich würde am Ende dennoch immernoch interessieren wie es über die CauchyIntegralformel geht, da es sich um eine Aufgabe handelt, wo wir noch nicht den Residuensatz kannten und 100% die Cauchyintegralformel verwendet haben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MannyC
Mich würde am Ende dennoch immernoch interessieren wie es über die CauchyIntegralformel geht

Wenn das so ist, dann ist vorab eine Partialbruchzerlegung (PBZ) von fällig, anschließend kannst du die Cauchy-Integralformel jeweils auf die einzelnen Summanden der PBZ anwenden.
MannyC Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön. Wenn ich das über den Residuensatz (Anscheinend die Verallgemeinerung der Cauchyintegralformel) machen würde (Nur auf Kreise mit Radius r und Mittelpunkt a bezogen) dann wären also nur die Pole für die Residuen relevant, die in dem gegebenen Kreis sind richtig? Ich möchte halt wissen ob ich das richtig verstanden habe. xD

Ich habe im Anhang kurz 4 weitere Aufgaben. Auf den ersten Blick würde ich a und c über die Cauchyintegralformel lösen. b und d (Hauptwert des Logarithmus) sehen komplexer aus. Würden hier die Integralformeln scheitern?

Ich habe gerade außerdem mal umgeblättert bei den Übungsaufgaben, da war ebenfalls ein Integral der Form

S (z^2 -1)/(z^2+1)dz=S (z^2 -1)/((z+j)(z-j)) mit Mittelpunkt 0 und Radius wurzel(2). Hier wird die Cauchyintegralformel mit gewählten f(z)=(z^2 -1)/(z+j), wobei sie auf den oberen Kreis angewendet wird. Weisst du wieso das so ist? Ansonsten wird wohl die PBZ besser sein....
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »