Alternativtest: Summe der Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und 2. Art so niedrig wie möglich

12.02.2015, 20:01

StRb

Alternativtest: Summe der Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und 2. Art so niedrig wie möglich

Hey there!

Es ist folgende Aufgabenstellung gegeben:

In einem Krug sind entweder 20% oder 40% weiße Kugeln. Der Rest der Kugeln ist schwarz. Die Hypothese H1: $\begin{eqnarray*} p=0,20 \end{eqnarray*}$ soll mithilfe eines Alternativtests mit einer Stichprobe von 100 untersucht werden.
a) Bestimme die Akzeptmenge und die kritische Menge für H1 und bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und Fehler 2. Art bei einer Signifikanz von $\begin{eqnarray*} \alpha =10% \end{eqnarray*}$ .
b) Bestimme die Akzeptmenge und die kritische Menge für H1, sodass die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und 2. Art so gering wie möglich ist.

Meine Ideen:
zu a)
Erst einmal einen ganz klassischen Alternativtest durchführen. Da kam ich auf folgende Mengen:
Akzeptmenge $\begin{eqnarray*} A1=K2={0,...,25} \end{eqnarray*}$ (hm, die Klammern nimmt er nicht mit)
Kritische Menge $\begin{eqnarray*} K1=A2={26,...,100} \end{eqnarray*}$
Die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art ist ja eigentlich die Signifikanz, welche mit 10% gegeben war. Letztendlich sind es $\begin{eqnarray*} P(Fehler 1. Art)=P(X\in K1|H1 korrekt)=P(X\geq 26)=0,0875=8,75% \end{eqnarray*}$
Anschließend mit der Basiswahrscheinlichkeit der Alternativhypothese (0,4) die Fehler 2. Art berechnen, ergo:
$\begin{eqnarray*} P(Fehler 2. Art|p=0,4)=P(X\in K2|H2 korrekt)=P(X\leq 25)=0,00189=0,189% \end{eqnarray*}$

zu b)
Ich stehe auf dem Schlauch. Je niedriger die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit 2. Art, nicht wahr?
Muss ich dann jede mögliche Kombination durchrechnen oder gibt es einen "schnelleren" unumständlicheren Weg?

Bin für jede Hilfe dankbar!

14.02.2015, 10:10

Huggy

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RE: Alternativtest: Summe der Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und 2. Art so niedrig wie möglich

Zitat:

Original von StRb
$\begin{eqnarray*} P(Fehler 2. Art|p=0,4)=P(X\in K2|H2 korrekt)=P(X\leq 25)=0,00189=0,189% \end{eqnarray*}$

Schreibfehler? Ich komme auf $\begin{eqnarray*} 0.001189 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Muss ich dann jede mögliche Kombination durchrechnen oder gibt es einen "schnelleren" unumständlicheren Weg?

Wenn du mit der Binomialverteilung rechnest, kannst du das Minimum recht schnell eingabeln. Mehr als 4 - 5 Rechnungen wird man nicht brauchen.
Alternativ kannst du die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Dann kannst du das Minimum formelmäßig bestimmen. Danach brauchst du nur mit der Binomialverteilung zu testen, welcher der unmittelbar benachbarten ganzzahligen Werte wirklich das Minimum ergibt.

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