Extremwertaufgabe mit e-Funktion.

13.02.2015, 00:12	buenavista62	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe mit e-Funktion. Hallo zusammen. Ich habe ein generell ein Problem mit Extremwertaufgaben, da ich die Theorie nicht zu 100% durchgegangen bin und bei der folgenden Aufgabe nach reichlicher Überlegung immer noch zu keiner Lösung gekommen bin. Die Aufgabe: Der Kurve mit der Gleichung y=e^(-x^2) ist ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einzubrescheiben. Eine Seite des Rechteckts liegt dabei auf der x-Achse, die gegenüberliegenden Ecken auf dem Funktionsgraphen. Skizzieren Sie zuerst mit Hilfe einiger Punkte den Graphen. (Gauss'sche Glockenkurve) Da diese Glockenkurve symmetrisch zur y-Achse ist, dachte ich mir, dass die Hälfte der Fläche berechne, von 0 bis maximal zur Nullstelle also. Nun brauche ich ja die Zielfunktion, diese wäre hier (ich hoffe, dass ich mich nicht täusche) x * f(x). Jetzt komme ich bereits nicht mehr weiter. Es ist ja sozusagen A = x * e^(-x^2). Wie geht es jetzt weiter? Alles was ich brauche, ist die Nebenbedingung, dann ich diese ja in die Zielfunktion einsetzen -> 1. Ableitung 0 setzen -> diesen Wert dann in die 2. Ableitung, um zu prüfen ob es Maximum ist -> Formsache. Aber ich komme leider bereits am Anfang nicht mehr weiter. Vielen Dank für die Antworten im Voraus.
13.02.2015, 00:30	buenavista62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe mit e-Funktion. EDIT: Ist die Lösung für die Fläche = 0.857?
13.02.2015, 00:34	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine Nebenbedingung, $\begin{eqnarray} A(x)=x\cdot e^{-x^2} \end{eqnarray}$ ist bereits Deine Zielfunktion. Das Rechteck wird nur von der Glockenkurve begrenzt, diese Information ist bereits in Deiner Zielfunktion enthalten. Andere Bedingungen, wie z.B ein vorgegebener Umfang - die sonst die Nebenbedingungen vorgeben - sind nicht vorhanden. Alles weitere ist nun nur noch Formsache, ganz richtig. Zu Deinem Edit: Ja fast, ich komme auf 0,8578
13.02.2015, 01:08	buenavista62	Auf diesen Beitrag antworten »
Puuh, und ich dachte schon, ich wäre ein Idiot^^. Ich hätte noch eine Verständnisfrage: Wie hätte ich das jetzt lösen müssen, wenn ich direkt auf die gesamte Fläche kommen wollte, sprich nicht A/2 sondern A herausfinden möchte? Hätte ich dann das Integral bestimmen müssen (was ja meines Erachtens nach bei e^(-x^2) nicht geht). Oder gibt es da auch eine Zielfunktion, mit der man arbeiten kann? EDIT: Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich bin beruhigt.
13.02.2015, 01:25	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Länge der ganzen Rechteckseite auf der x-Achse nehmen. Es ergibt sich dann (etwas konstruiert wirkend) $\begin{eqnarray} A(x)=(x-(-x))\cdot e^{-x^2}=2x\cdot e^{-x^2} \end{eqnarray}$
13.02.2015, 01:34	buenavista62	Auf diesen Beitrag antworten »
Das dachte ich mir schon! Sehr gutes Gefühl, ich scheine es verstanden zu haben. x- (-x) oder man kann auch sagen, x + ¦-x¦, also -x in Betrag, da wir ja logisch überlegt nicht abziehen, sondern "Längen" im Positiv und Negativbereich der x-Achse zusammenzählen. Vielen Dank, opi. Ich gehe nun in Ruhe schlafen. Gute Nacht!
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13.02.2015, 01:40	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du für die "Längen" immer $\begin{eqnarray} \text{oberer Wert - unterer Wert} \end{eqnarray}$ rechnest, regeln die Vorzeichen sogar alles von ganz alleine - ganz ohne Betragsstriche. Dir auch eine gute Nacht!

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