Matrixexponential bei nichtdiagonalisierbaren Matrizen

13.02.2015, 07:08	Lucho	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixexponential bei nichtdiagonalisierbaren Matrizen Hallo. Weiß gar nicht ob das hier hin oder in die LinA-Abteilung gehört, aber da es eigentlich eine Teilaufgabe/Lösungsmethode für DGL-Systeme aus einer Analysis-Vorlesung ist, stelle ich es mal hier rein. Wie immer schildere ich ausführlich meine Gedanken. Es soll berechnet werden $\begin{eqnarray} e^{tA} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} c & 1 \\ 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für diagonalisierbare Matrizen gibt es den Weg, die Matrix A zu diagonalisieren (Diagonalelemente sind Eigenwerte von A), die Transformationsmatrix T (Spaltenelemente sind die n Eigenvektoren der nxn-Matrix A) aufzustellen und die Lösung wäre: $\begin{eqnarray} e^{tA} = T e^{t D} T^{-1} \end{eqnarray}$ Nun geht das aber hier nicht, da das charakteristische Polynom der obigen Matrix lautet: $\begin{eqnarray} (c - \lambda)^2 = 0 \end{eqnarray}$ Es existiert also ein 2-facher Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda = c \end{eqnarray}$ . "Der" Eigenvektor dazu lautet: $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ 1 dimensionaler Eigenraum. Jetzt gibt es aber wohl folgendes Lösungsschema. Bei algebraischer Vielfachheit k zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gibt es zwar nicht zwangsläufig k lin. unabhängige Eigenvektoren, aber doch immerhin k Hauptvektoren. Die da definiert sind über: $\begin{eqnarray} (A - \lambda E)^k v = 0 \end{eqnarray}$ Für den speziellen Fall k = 2 in meiner Aufgabe vereinfacht sich dies also zu: $\begin{eqnarray} 0 = (A - \lambda E)^2 v = (A - \lambda E) [(A - \lambda E) v] = (A - \lambda E) v_1 \end{eqnarray}$ Das was in eckigen Klammern steht ist also ein Eigenvektor zu $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , mit anderen Worten $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ . Also insgesamt: $\begin{eqnarray} (A - \lambda E) v = v_1 \end{eqnarray}$ Damit kann ich meinen Hauptvektor v berechnen. Der ist hier einfach $\begin{eqnarray} v = v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, nun kommt das Wesentliche, was ich nicht verstehe anzuwenden. Der Satz lautet: Ist v Hauptvektor, also $\begin{eqnarray} (A - \lambda E)^k v = 0 \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} e^{A t} v = e^{\lambda t} \sum_{j=0}^{k-1} \frac{t^j}{j!}(A - \lambda E)^j v \end{eqnarray}$ Ich kann das beim besten Willen nicht anwenden für mein Beispiel. Ich verstehe schon die linke Seite nicht. Ich will $\begin{eqnarray} e^{A t} \end{eqnarray}$ , da steht aber $\begin{eqnarray} e^{A t} v \end{eqnarray}$ . Die rechte Seite wird auch keine 2x2-Matrix. $\begin{eqnarray} (A - \lambda E) \end{eqnarray}$ ist eine 2x2-Matrix, v ist ein Spaltenvektor. Ergebnis der Multiplikation ist somit auch ein Spaltenvektor mit 2 Zeilen. Ich verstehe nicht wie diese Formel mir hilft, die Aufgabe zu lösen. Ich kann das ja mal stupide durchziehen. Vielfachheit k = 2: $\begin{eqnarray} e^{A t} v = e^{c t} \sum_{j=0}^{1} \frac{t^j}{j!}(A - \lambda E)^j v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e^{c t}(v + t(A - \lambda E)v) = e^{c t}(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = e^{ct } \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} e^{A t} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = e^{ct } \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ergebnis laut Wolfram übrigens: $\begin{eqnarray} e^{A t} = e^{c t} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.02.2015, 09:28	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich lautet die Taylorreihe der e-Funktion $\begin{eqnarray} e^x=1+x+\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{1}{3!}x^3+\tfrac{1}{4!}x^4+... \end{eqnarray}$ In diesem Sinne ist die Matrix $\begin{eqnarray} e^{A t} \end{eqnarray}$ zu verstehen, also $\begin{eqnarray} e^{A t}=E+At+\tfrac{1}{2}A^2t^2+\tfrac{1}{3!}A^3t^3+\tfrac{1}{4!}A^4t^4+... \end{eqnarray}$ Wie man leicht nachrechnen kann, lautet die n-te Potenz deiner Matrix A $\begin{eqnarray} A^n=c^{n-1}\cdot \begin{pmatrix} c & n \\ 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Setze diese Potenzen in die obige Reihe ein und fasse alles so zusammen, dass am Ende nur noch ein Term der Form "Faktor mal Matrix" da steht.

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