Annaeherung n-Fakultaet mit log

13.02.2015, 12:56

Dani_ela

Annaeherung n-Fakultaet mit log

Hey zusammen smile

Ich haenge im Moment an folgender Aufgabe:

By taking the log, show that
$\begin{eqnarray*} n! \approx (\frac{n}{e} )^n \end{eqnarray*}$

You can use the approximation
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} log(k) \approx \int_{0}^{n} \! log(x) \, dx \end{eqnarray*}$
and the fact
$\begin{eqnarray*} x log(x)\to 0 \end{eqnarray*}$ as $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass das, was ich zeigen soll, eine sehr grobe Annaeherung ist. Aber ich hab keine Ahnung, was ich dem log da machen muss...

Bin dankbar fuer Denkansaetze.
(Und sorry wegen dem ae aber ich bin grad im Ausland und hab ne andere Tastatur^^)

LG Daniela

13.02.2015, 13:50

Helferlein

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Im Prinzip steht alles schon in der Aufgabe: Logarithmiere die Ausgangs"gleichung" und bringe das in Bezug zum Hinweis mit dem Integral.
Danach rechnest Du das Integral aus und das ist schon (fast) alles.

13.02.2015, 14:08

Dani_ela

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Ah also "einfach mal" logarithmieren^^
Danke, ich bin dran.
Melde mich wenn ich was hab smile

13.02.2015, 14:25

Dani_ela

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Ich denke ich habs:

$\begin{eqnarray*} log(n!) =log(\prod_{k=1}^n k) =\sum\limits_{k=1}^{n} log(k) \approx \int_{0}^{n} \! log(x) \, dx =\left[x \cdot log(x)-x\right]_{0}^{n} =n \cdot log(n)-n = log(n^{n}) -n = log(n^{n})-log(e^{n}) = log(\frac{n^{n}}{e^{n}} ) = log((\frac{n}{e})^{n} ) \end{eqnarray*}$

Jetzt konnte ich zeigen, dass es mit dem Logarithmus gilt. Aber wie begruende ich nun, dass es auch so gilt?

13.02.2015, 14:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dani_ela
Aber wie begruende ich nun, dass es auch so gilt?

Wie meinst du das? Geht es um Sinn (oder Unsinn) des $\begin{align*} \approx \end{align*}$ ?

Seriöserweise kannst du auch eine Abschätzung nach beiden Seiten machen. Die von dir ist wegen der Monotonie von $\begin{align*} x\mapsto \log(x) \end{align*}$ eine Abschätzung nach unten, d.h.

$\begin{align*} \log(n!) = \sum_{k=2}^n \log(k) \geq \int\limits_1^n \log(x) ~ \dd x = n\log(n)-n+1 \end{align*}$ .

Genauso kann man aber auch nach oben abschätzen:

$\begin{align*} \log(n!) = \log(n) + \sum_{k=1}^{n-1} \log(k) \leq \log(n) + \int\limits_1^n \log(x) ~ \dd x = (n+1)\log(n)-n+1 \end{align*}$ .

Zusammen ergibt dies

$\begin{align*} \frac{n^n}{e^{n-1}} \leq n! \leq \frac{n^{n+1}}{e^{n-1}} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ .

13.02.2015, 14:53

Dani_ela

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Ja jetzt ist es klar smile

Bei mir war $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ schon vorgegeben, aber jetzt ist klar, wie das formal aussehen muss!

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