Grenzwert, Häufungspunkt, Definition

13.02.2015, 14:30

BissleBlöd

Grenzwert, Häufungspunkt, Definition

[attach]37221[/attach]kannnmir jemand diese definition erklären? Besonders scheitere ich am unteren teil mit dem durchschnitt . was soll dieses U bedeutet? Soll das eine funktion darstellen?

13.02.2015, 14:47

klarsoweit

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RE: grenzwert häufungspunkt definition *__*
$\begin{eqnarray*} U_{\delta}(x_0) \end{eqnarray*}$ ist eine Umgebung um x_0 mit Radius delta. Für reelle Zahlen ist also $\begin{eqnarray*} U_{\delta}(x_0) = \{x \in \mathbb D ~|~ |x - x_0| < \delta \} \end{eqnarray*}$ . smile

13.02.2015, 15:05

BissleBlöd

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RE: grenzwert häufungspunkt definition *__*

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} U_{\delta}(x_0) \end{eqnarray*}$ ist eine Umgebung um x_0 mit Radius delta. Für reelle Zahlen ist also $\begin{eqnarray*} U_{\delta}(x_0) = \{x \in \mathbb D ~|~ |x - x_0| < \delta \} \end{eqnarray*}$ . smile

heißt das dann etwa soviel wie: für eine beliebig kleine deltaumgebung liegt mindestens ein punkt vonndieser deltaumgebung auch in D?

13.02.2015, 15:11

klarsoweit

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RE: grenzwert häufungspunkt definition *__*
Nein. Die Delta-Umgebung liegt immer in D. Es geht darum, daß in jeder Delta-Umgebung um x_0 außer dem x_0 noch andere Elemente von D enthalten sind. Augenzwinkern

13.02.2015, 15:18

BissleBlöd

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RE: grenzwert häufungspunkt definition *__*
Ahhhh jetzt. Perfekt. Danke smile

13.02.2015, 15:48

BissleBlöd

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RE: Grenzwert, Häufungspunkt, Definition
Noch eine frage. Wird der Definitionsbereich als D bezeichnet oder was bedeutet "Folge x_n in D"?

16.02.2015, 09:08

klarsoweit

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RE: Grenzwert, Häufungspunkt, Definition

Zitat:

Original von BissleBlöd
Wird der Definitionsbereich als D bezeichnet?

Gewissermaßen. D ist eine Teilmenge von R. Und "Folge x_n in D" besagt, daß alle Folgenglieder der Folge x_n Elemente der Menge D sind.

16.02.2015, 11:32

DerJFK

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Zitat:

heißt das dann etwa soviel wie: für eine beliebig kleine deltaumgebung liegt mindestens ein punkt vonndieser deltaumgebung auch in D?

@klarsoweit: du hattest hier gesagt, dass der Fragesteller falsch läge und das die delta umgebung immer in D liegen würde.

Bspw. $\begin{eqnarray*} D = \{ x \in \mathbb{R}^2 \ | \ \| x \| \le 1 \} \end{eqnarray*}$ und man betrachtet $\begin{eqnarray*} x_0 = (0,1)^T \end{eqnarray*}$ . Dann ist dies dennoch ein Häufungspunkt nach obiger definition jedoch liegt keine delta-umgebung echt in D.

Die Aussagen vom Fragesteller, dass für jede Umgebung um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mindestens ein Punkt in D liegen muss, ist meiner Meinung nach richtig. Da es für jede Umgebung gilt, liegen somit auch unendliche viele Punkte beliebig nah an x0 und somit ist das auch die Definition wenn eine Folge gegen den Punkt konvergiert.

Würdest du mir zustimmen oder seh ich da was falsch?

16.02.2015, 12:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von DerJFK
@klarsoweit: du hattest hier gesagt, dass der Fragesteller falsch läge und das die delta umgebung immer in D liegen würde.

Stimmt, das war falsch. Es muß ja nicht einmal das x_0 in D liegen. Hammer

@BissleBlöd: sorry für die Verwirrung. traurig

Zitat:

Original von DerJFK
Die Aussagen vom Fragesteller, dass für jede Umgebung um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mindestens ein Punkt in D liegen muss, ist meiner Meinung nach richtig. Da es für jede Umgebung gilt, liegen somit auch unendliche viele Punkte beliebig nah an x0 und somit ist das auch die Definition wenn eine Folge gegen den Punkt konvergiert.

Würdest du mir zustimmen oder seh ich da was falsch?

Im Prinzip ja, es muß aber das x_0 ausgenommen werden.

16.02.2015, 14:43

BissleBlöd

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Verständnisfrage: muss X_0 nun immer außerhalb D liegen oder KANN aber muss nicht außerhalb D liegen?

16.02.2015, 14:53

klarsoweit

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x_0 kann, muß aber nicht außerhalb von D liegen. Beispiel:

D = (0, 1), x_n = 1/n .
smile

16.02.2015, 15:22

BissleBlöd

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Zitat:

Original von klarsoweit
x_0 kann, muß aber nicht außerhalb von D liegen. Beispiel:

D = (0, 1), x_n = 1/n .
smile

Ah okay danke smile

also kann ixh den häufungspunkt einfach als grenzwert einer folge dsehen

16.02.2015, 15:35

klarsoweit

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Klares jein. Denn es gibt auch Häufungspunkte, die keine Grenzwerte sind. Beispiel: $\begin{eqnarray*} x_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$ smile

16.02.2015, 16:27

BissleBlöd

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Zitat:

Original von klarsoweit
Klares jein. Denn es gibt auch Häufungspunkte, die keine Grenzwerte sind. Beispiel: $\begin{eqnarray*} x_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$ smile

stimmt. Daran hab ich garnicht gedacht

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