Epsilon-Delta-Grenzwert

13.02.2015, 19:32

Luipo

Epsilon-Delta-Grenzwert

Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 5} x^{2}=25 \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} |x-5|<\delta \Rightarrow |f(x)-25|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Damit:

$\begin{eqnarray*} |x^{2} -25|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x^{2} -25|=|(x+5)(x-5)|=(x+5)\delta \end{eqnarray*}$

Damit? Ab hier bin ich mir total unsicher. Auch mit dem Betrag...

$\begin{eqnarray*} (x+5)\delta<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta<\frac{\epsilon}{x+5} \end{eqnarray*}$

14.02.2015, 13:46

bijektion

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So darfst du das nicht machen. Du musst zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ angeben, dass nur von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ abhängt.

Mit $\begin{eqnarray*} ^|x^2-25|=|x-5|\cdot |x+5| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x+5|=|x-5+10|\leq |x-5|+10 \end{eqnarray*}$ solltest du zum Ziel kommen Augenzwinkern

14.02.2015, 14:09

10001000Nick1

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Zitat:

Original von bijektion
Du musst zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ angeben, dass nur von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ abhängt.

Hier sollte das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wohl eher von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängen. Augenzwinkern

15.02.2015, 00:36

Luipo

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Also bijektion, ich glaube ich verstehe deinen Trick. Du willst das letzte x beseitigen.

Der ursprüngliche Ansatz ist ja richtig:

$\begin{eqnarray*} |x^{2}-25|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x^{2}-25|=|(x-5)(x+5)|=|x-5||x-5+10|\leq |x-5||x-5|+10 \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} |x-5||x-5|+10=(x-5)^{2}+10=\delta^{2}+10\ < \epsilon \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich das nun nach delta auflöse steht doch fast zwangsweise etwas negatives unter der Wurzel? Das sieht nicht gut aus verwirrt

17.02.2015, 10:29

Luipo

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*push* Danke wenn da mal jemand drüberschaut Augenzwinkern

17.02.2015, 12:28

IfindU

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Statt
$\begin{eqnarray*} |x-5||x-5+10|\leq |x-5||x-5|+10 \end{eqnarray*}$
muss es
$\begin{eqnarray*} |x-5||x-5+10|\leq |x-5|(|x-5|+10) \end{eqnarray*}$
heißen.

17.02.2015, 14:12

Luipo

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Danke, das habe ich nicht gesehen. Damit wäre es dann letztlich

$\begin{eqnarray*} \delta^{2}+10\delta < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das löst man wohl besser mit der Lösungsformel oder? Nur welche der beiden Lösungen ist jetzt korrekt? Die positive?

17.02.2015, 14:21

IfindU

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Für $\begin{eqnarray*} 0 < \delta < 1 \end{eqnarray*}$ kannst du $\begin{eqnarray*} \delta^2 < \delta \end{eqnarray*}$ abschätzen, damit kannst du es dir deutlich leichter machen. Alternativ natürlich die positive Lösung.

17.02.2015, 14:31

Luipo

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danke

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