Zentraler Grenzwertssatz

13.02.2015, 21:12	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentraler Grenzwertssatz Hallo zusammen, ich habe eine Frage bezüglich dem Zentralen Grenzwertsatz. Also gegeben sind folgende Informationen: $\begin{eqnarray} E(Y_n) = n\frac{13}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V(Y_n) = n\frac{143}{12} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes von Lindeberg-Lévy die Approximation: $\begin{eqnarray} <br /> P(590 < Y_{100} < 710) \approx 0.9178 \end{eqnarray}$ Hinweis: Es ist $\begin{eqnarray} \phi (1.7381) \approx 0.9589 \end{eqnarray}$ Lösung: Wir formen um und wenden den zentralen Grenzwertsatz an: $\begin{eqnarray} P(590<Y_{100}<710) = P \left (\frac{590-EY_{100}}{\sqrt{VY_{100}}}<\frac{Y_{100}-EY_{100}}{\sqrt{VY_{100}}}<\frac{710-EY_{100}}{\sqrt{VY_{100}}} \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =P \left (\frac{-60}{\sqrt{VY_{100}}}<\frac{Y_{100}-EY_{100}}{\sqrt{VY_{100}}}<\frac{60}{\sqrt{VY_{100}}} \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \approx =\phi\left (\frac{60}{\sqrt{VY_{100}}}\right ) - \phi\left (-\frac{60}{\sqrt{VY_{100}}}\right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2\phi\left (\frac{60}{\sqrt{VY_{100}}}\right ) -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \approx 2\phi\left (1.7381\right ) -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \approx 20.9589-1 = 0.9178<br /> \end{eqnarray*}$ Danke für jeden Hinweis
14.02.2015, 10:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass $\begin{align} \frac{Y_n-E(Y_n)}{\sqrt{V(Y_n)}} \end{align}$ näherungsweise standardnormalverteilt ist. Also wird die das Ereignis definierende Ungleichung $\begin{align} 590 < Y_{100} < 710 \end{align}$ so linear umgeformt, dass in der Mitte eben jene standardnormalverteilte Zufallsgröße steht. Der Rest ist dann nur noch eine Intervallwahrscheinlichkeitsberechnung unter Nutzung der Verteilungsfunktion $\begin{align} \Phi \end{align}$ der Standardnormalverteilung. Hast du sowas noch nie gemacht? Wundert mich.
15.02.2015, 18:16	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Symmetrie der Normalverteilung war mir an dieser Stelle nicht bekannt. Danke dir HAL 9000

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