Schon wieder was mit Grenzwerten

13.02.2015, 22:53

Tempi

Schon wieder was mit Grenzwerten

Hey ,hab gerade ein Problem mit einem Grenzwert und komme einfach auf keine Lösung.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x*ln(1+\frac{1}{x+1})= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} "\infty *0 " \end{eqnarray*}$
Da man bei Grenzwerten mit einem Bruch besser rechnen kann forme ich das mal um zu
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty }\frac{x}{ \frac{1}{ln(1+\frac{1}{x+1})} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ="\frac{\infty }{0} " \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\infty \end{eqnarray*}$
oder zu
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{x+1})}{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ="\frac{0}{\infty}" =0 \end{eqnarray*}$

L'H habe ich mir auch überlegt aber L'H greift doch nur bei $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{0 }{0 } \end{eqnarray*}$

Und irgendwie sieht mein Ergebnis auch falsch aus weil zwei unterschiedliche Lösungen heraus kommen, irgendwo liegt da noch der Hund begraben verwirrt

Kann mir jemand helfen?

13.02.2015, 23:27

Grenzwertrzezdhdf

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Du scheinst die Grenzwertsätze zu benutzen, ohne das du sie anwenden darfst.
Du bestimmst den "Grenzwert" von Zähler und Nenner seperat. Das geht aber nur, wenn sie konvergieren.

Probiere es mit dem "Sandwich-Lemma".

13.02.2015, 23:37

Tempi

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Davon hab ich noch nie was gehört unglücklich

13.02.2015, 23:50

Bjoern1982

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Denk doch mal an $\begin{eqnarray*} r \cdot ln(a)=ln(a^r) \end{eqnarray*}$ und den bekannten Grenzwert $\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

14.02.2015, 00:16

Tempi

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Ah okay dann kann ich es umformen zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } ln((1+\frac{1}{x+1})^{x} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln(e)=1 \end{eqnarray*}$ was dann der Grenzwert ist Freude

14.02.2015, 00:22

Anfängere

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Hallo wie hast du dass gezeigt?
ich komm gerade nicht dahinter
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } ln((1+\frac{1}{x+1})^{x} )=e \end{eqnarray*}$

14.02.2015, 10:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tempi
Da man bei Grenzwerten mit einem Bruch besser rechnen kann forme ich das mal um zu
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty }\frac{x}{ \frac{1}{ln(1+\frac{1}{x+1})} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ="\frac{\infty }{0} " \end{eqnarray*}$
oder zu
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{x+1})}{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ="\frac{0}{\infty}" \end{eqnarray*}$

Da hast du wohl falsch gerechnet. Wenn ich mal die saloppe Symbolik übernehme, dann ist ja wohl

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty }\frac{x}{ \frac{1}{ln(1+\frac{1}{x+1})} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ="\frac{\infty }{\infty} " \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{x+1})}{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ="\frac{0}{0}" \end{eqnarray*}$

zutreffend.

15.02.2015, 15:04

Tempi

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Zitat:

Original von Anfängere
Hallo wie hast du dass gezeigt?
ich komm gerade nicht dahinter
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } ln((1+\frac{1}{x+1})^{x} )=e \end{eqnarray*}$

Nein das ist falsch, der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (1+\frac{1}{x+1})^{x} =e \end{eqnarray*}$ denn der

Zitat:

Original von Bjoern1982
bekannte[...] Grenzwert $\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
Da hast du wohl falsch gerechnet. Wenn ich mal die saloppe Symbolik übernehme, dann ist ja wohl

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty }\frac{x}{ \frac{1}{ln(1+\frac{1}{x+1})} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ="\frac{\infty }{\infty} " \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to \infty } \frac{ln(1+\frac{1}{x+1})}{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ="\frac{0}{0}" \end{eqnarray*}$

zutreffend.

Upps, dann müsste man ja doch mit L'H weiterkommen? Das endet aber in einer ziemlichen Rechnerei. Ich glaube der Sinn der Aufgabe bestand wohl darin dieses besonderen Grenzwert $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ zu erkennen.

15.02.2015, 15:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tempi
Upps, dann müsste man ja doch mit L'H weiterkommen? Das endet aber in einer ziemlichen Rechnerei.

Eigentlich nicht, wenn man die untere der beiden Formen nimmt.

15.02.2015, 15:25

Tempi

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Habs mal eben versucht. Gibt bei mir Brüche ohne Ende geschockt

15.02.2015, 15:39

HAL 9000

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Dann stellst du dich wohl ziemlich ungeschickt an. Es ist

$\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x+2)-\ln(x+1)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{(x+1)(x+2)} = 1 \end{align*}$ ,

also kein Problem. unglücklich

15.02.2015, 16:02

Tempi

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Hm stimmt, schaut auch ganz nett aus der Weg. Um solche Umformungen zu sehen hätte ich aber noch eine ganze Weile gebraucht verwirrt

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