Gleichheit meromorpher Funktionen, Fortsetzbarkeit Riemannsche Zeta-Funktion

14.02.2015, 15:38	Zwetschge	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit meromorpher Funktionen, Fortsetzbarkeit Riemannsche Zeta-Funktion Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiß: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ die negativ geschlitzte komplexe Ebene. Für $\begin{eqnarray} z \in G \end{eqnarray}$ können wir $\begin{eqnarray} z^{s-1} = e^{(s-1) log z} \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren. a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} I(s) := \frac{1}{2 \pi i} \oint _{\gamma} \frac{z^{s-1}e^z}{1-e^z} dz \end{eqnarray}$ eine ganze Funktion in $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ definiert, wobei wir als Integrationsweg einen Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ wählen, der unterhalb des Schlitzes bei $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ beginnt, die Null einmal im positiven Sinne umläuft und bei $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ oberhalb des Schlitzes wieder endet. b) Zeigen Sie, dass folgende Gleichheit meromorpher Funktionen gilt: $\begin{eqnarray} \zeta (s) = \gamma (1-s) I(s) \end{eqnarray}$ Warum liefert dies einen erneuten Beweis für die analytische Fortsetzbarkeit der Riemannschen Zeta-Funktion als meromorphe Funktion auf die komplexe Ebene? Die a) habe ich bereits gezeigt. Das Problem ist nur die b) Meine Ideen: Zur b) weiß ich momentan nur die Definitionen der einzelnen Faktoren: $\begin{eqnarray} \zeta (s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^s}= \prod\limits_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Gamma (s) = \int_{0}^{\infty } \! t^{s-1} e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \Gamma (1-s) = \int_{0}^{\infty } \! t^{-s} e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ Eine wirkliche Idee habe ich leider nicht, ich weiß nicht einmal, wie ich die rechte Seite ausmultiplizieren und zusammenfassen könnte. Ich weiß auch nicht, warum das ein Beweis für die Fortsetzbarkeit der Riemannschen Zeta-Funktion sein soll... Kann mir von euch vielleicht jemand nen Tipp geben?

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