Erwartungswert des Produkts abhängiger Zufallsvariablen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert des Produkts abhängiger Zufallsvariablen
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe mir gerade auf der folgenden Seite:

http://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Normalverteilung

gerade das Beispiel angesehen mit dem Apfelbäumen. Dort werden Kovarianzen usw.) angegeben. Mir ist nicht ganz klar, wie man die bestimmt. Wenn ich die Definition der Kovarianz betrachte, und dann mit der Verschiebeformel arbeite, dann muss ich ja den Erwartungswert des Produkts der Zufallsvariablen bestimmen.

Wie geht das?



Meine Ideen:
Durch google habe ich folgendes herausgefunden.

Die gemeinsame Dichte von ist gegeben durch:



für den Erwartungswert hätte ich dann:

leider kann ich die Integrale nicht lösen (Wolfram - Alpha streikt auch), so dass ich auch nicht prüfen kann, ob ich auf das selbe Ergebnis komme. Daher weiß ich auch nicht, ob mein Gedankengang stimmt.

Also daher die Frage, würde man so den Erwartungswert des Produkts bestimmen? (im Falle der Abhängigkeit natürlich)

Danke
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
Die gemeinsame Dichte von ist gegeben durch:


Das gilt nur für unabhängige , wo zudem f.s. nur positive Werte annehmen kann.

Die allgemeine Dichteformel für wäre

,

mit der gemeinsamen Dichte der Ausgangszufallsgrößen (natürlich vorausgesetzt, dass letztere existiert).



P.S.: Das Beispiel mit den Apfelbäumen hast du wohl missverstanden. Dort wird aus den Randverteilungen plus den Zusatzinformationen über die Kovarianzen die gemeinsame Verteilung aufgestellt, also NICHT allein aus den Randverteilungen die Kovarianz berechnet.

Das geht nämlich gar nicht: Ohne jede Information über die Abhängigkeitsstruktur kann man für die Kovarianz allenfalls die sich aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ergebenden Schranken



aufstellen - mehr ist nicht drin. unglücklich
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