Zusammenhänge zeigen: L-Funktion, Charakter modulo 4, Zeta-Funktion und Gamma-Funktion

14.02.2015, 16:34	Sinash	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhänge zeigen: L-Funktion, Charakter modulo 4, Zeta-Funktion und Gamma-Funktion Meine Frage: Ich hänge gerade an einer Aufgabe, vielleicht kann mir ja von euch jemand nen Denkanstoß geben: c) Sei $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ der nicht triviale Charakter modulo 4 und $\begin{eqnarray} L(s) := L(s,\chi) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \rho (s) = \rho (1-s) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \rho (s) = \left( \frac{\pi}{4} \right) ^{-\frac{s}{2} } \Gamma \left( \frac{s+1}{2} \right) L(s) \end{eqnarray}$ . d) Zeige Sie, dass $\begin{eqnarray} \zeta _4 (s)=(1-2^{-s}) \zeta (s) L(s) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: In Teilaufgabe a) habe ich folgendes gezeigt: $\begin{eqnarray} f(\tau):=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty } (-1)^n \left(n+\frac{1}{2} \right) e^{\pi i \tau \left( n+\frac{1}{2} \right)^2} = 2\sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^n \left( n+\frac{1}{2} \right) e^{\pi i \tau \left( n+\frac{1}{2} \right)^2} = 4\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty } \left( n+\frac{1}{4} \right) e^{4 \pi i \tau \left( n+\frac{1}{4} \right) ^2 } \end{eqnarray}$ gezeigt. In Teilaufgabe b) habe ich folgendes gezeigt: $\begin{eqnarray} f \left( -\frac{1}{\tau} \right) = \left( \frac{\tau}{i} \right) ^{\frac{3}{2}} f(\tau) \end{eqnarray}$ Zur c) weiß ich die einzelnen Faktoren: $\begin{eqnarray} \rho (s) = \left( \frac{\pi}{4} \right) ^{-\frac{s}{2} } \Gamma \left( \frac{s+1}{2} \right) L(s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rho (1-s) = \left( \frac{\pi}{4} \right) ^{-\frac{1-s}{2} } \Gamma \left( \frac{2-s}{2} \right) L(1-s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Gamma \left( \frac{s+1}{2}\right) =\int_{0}^{\infty } \! t^{\frac{s+1}{2}-1} e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Gamma \left( \frac{2-s}{2}\right) =\int_{0}^{\infty } \! t^{\frac{2-s}{2}-1} e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\chi (n)}{n^s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\chi (n)}{n^{1-s}} \end{eqnarray}$ Mir ist es ein Rätsel, wie ich das zu einer Gleichheit umformen kann... Zur d) weiß ich: $\begin{eqnarray} \zeta _q (s)= \prod\limits_{\chi} L(s,\chi)= \prod\limits_{\chi} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\chi (n)}{n^s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \zeta (s)= \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^s}=\prod\limits_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\chi (n)}{n^{1-s}} \end{eqnarray}$ Auch hier weiß ich nicht, die ich das zur Gleichheit umformen soll...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »