Ringe nicht isomorph

14.02.2015, 22:16	SailorMoon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringe nicht isomorph Meine Frage: Zeigen Sie $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i]=\{a+bi\|a,b \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\|a,b \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ sind als abelsche Gruppern aber nicht als Ringe isomorph. Meine Ideen: Mir ist klar, dass sie als Gruppen ismomorph sind mit dem Isomorphismus: $\begin{eqnarray} \phi(a+bi)=a+b\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} z,w \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ beliebig gewählt $\begin{eqnarray} z=a+bi, w=x+yi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b,w,y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(z+w)=\phi((a+bi)+(x+yi))=\phi(a+x+(b+y)i)=a+x+(b+y)\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}+x+y\sqrt{d}=\phi(a+bi)+\phi(x+yi)=\phi(z)+\phi(w) \end{eqnarray}$ Mir ist auch klar, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ kein Ringisomorphismus ist.(Wegen $\begin{eqnarray} i^2=-1 \end{eqnarray}$ beim Ausmultiplizieren.) Aber wie kann ich schließen, dass es überhaupt keinen Ringisomorphismus zwischen den beiden Ringen gibt? LG
14.02.2015, 23:41	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe nicht ismorph Möglichkeit 1: Schau dir $\begin{eqnarray} f(i)^2 \end{eqnarray}$ an. (f der gesuchte Iso.) Möglichkeit 2: Zeige, dass der rechte Ring deutlich mehr Einheiten als der Linke hat.
15.02.2015, 12:05	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Captain Kirk. Ich bin deinen Tipp zu 1) nachgegangen: Es sei $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ein Ringisomorphismus zwischen den beiden Ringen. Es gilt da $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ein Epimorphismus ist: $\begin{eqnarray} \psi(i)\psi(i)=\psi(ii)=\psi(-1)=\psi((-1)1)=-\psi(1)=-1 \end{eqnarray}$ Wie erreiche ich hier aber einen Widerspruch? Ich hab noch heumprobiert: $\begin{eqnarray} \psi(i)\psi(-i)=\psi(i(-i))=\psi(1)=1 \Rightarrow (\psi(i))^{-1}=\psi(-i)=-\psi(i) \end{eqnarray*}$
15.02.2015, 12:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieviele reelle Zahlen gibt es, deren Quadrat -1 ist ? Umgekehrt findet man auch im Gitter der ganzen gaußschen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]\subset \mathbb C \end{eqnarray}$ kein Element $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} w^2=2 \end{eqnarray}$ . Das lässt sich ganz leicht zeigen, wenn man die Beträge von Produkten komplexer Zahlen betrachtet. Noch einfacher sieht man es, indem man die beiden reellen Wurzeln aus 2 anschaut, die liegen da nicht drin. Das Polynom 2. Grades $\begin{eqnarray} x^2-2 \end{eqnarray}$ hat in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ nur diese beiden Nullstellen.
15.02.2015, 15:20	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich merke erst jetzt dass ich im ersten Beitrag einen falschen Namen eingetippt habe. Sry.. Danke! Zusammenfassend die zweite Möglichkeit: $\begin{eqnarray} (\psi^{-1}(\sqrt{2}))^{2}=\psi^{-1}(\sqrt{2})\psi^{-1}(\sqrt{2})=\psi^{-1}(\sqrt{2}\sqrt{2})=\psi^{-1}(2)=\psi^{-1}(1+1)=\psi^{-1} (1)+\psi^{-1}(1)=1+1=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \not\exists \omega \in \mathbb{Z}[i]\subseteq \mathbb{C}:\omega^2=2 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{2} \not\in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$
15.02.2015, 18:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, allerdings hat dieses $\begin{eqnarray} \psi^{-1} \end{eqnarray}$ nichts mit dem obigen $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ zu tun ! Genau so gibt es kein Element $\begin{eqnarray} \tau \in \mathbb Z[\sqrt 2]\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tau^2=-1 \end{eqnarray}$ . Du hast aber mit $\begin{eqnarray} \tau=\psi(i) \end{eqnarray}$ ein solches Element gefunden, also gibt es dieses $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ nicht.
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15.02.2015, 22:55	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!! lg
16.02.2015, 10:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Ich möchte noch anmerken, dass der Aufwand mit den Isomorphismen (z.b. $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ) nicht notwendig ist, obwohl der Begriff "isomorph" definiert ist als Existenz einer bijektiven strukturerhaltenden Abbildung. Der tiefere Sinn dieser Definition besteht darin, dass isomorphe Strukturen algebraisch nicht unterschieden werden können. Isomorphe Ringe sind als Ringe völlig gleich, insbesondere müssen alle Elemente mit bestimmten Eigenschaften, die in einem Ring vorkommen, in jedem isomorphen Ring auftreten. Als Unterringe von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i]=\mathbb Z[X]/(X^2+1) \not \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt 2]=\mathbb Z[X]/(X^2-2)\subset R \end{eqnarray}$ offensichtlich nicht isomorph. Dasselbe gilt für alle Teilstrukturen, z.B. haben isomorphe Gruppen genau dieselben Untergruppen. Deshalb hat Captain Kirk vermutlich auf die unterschiedlichen Einheitengruppen dieser beiden Ringe hingewiesen.

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