Jordan-Nullmenge

15.02.2015, 11:52	Lucho	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan-Nullmenge Zum Einstieg in mehrdimensionale Integration gilt es nun die Jordan-Nullmenge zu verstehen. Definition: Eine Teilmenge $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ heißt Jordan-Nullmenge, wenn gilt: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \ \exists Q_i \ \text{Quader} \in \mathbb{R}^n \quad i = 1...n: M \subseteq (\cup_{i=1}^n Q_i), \sum_{i=1}^n vol(Q_i) < \epsilon \end{eqnarray}$ In Worten verstehe ich das so: Eine Menge ist Jordan-Nullmenge, wenn sie sich durch beliebig kleine, endlich viele Quader überdecken lässt. In Worten hört sich das ja recht einfach an. Das mathematisch konkret zu zeigen bereitet mir aber Schwierigkeiten. Nehmen wir mal ein Beispiel (wohl ein Standardbeispiel): $\begin{eqnarray} A = \mathbb{Q} \cap [0, 1] \end{eqnarray}$ Diese Menge sei demnach nicht Jordan-Nullmenge. Wie genau geht man da denn vor, um sowas zu zeigen standardmäßig? Mit der obigen Definition? Das erscheint mir unpraktisch, ähnlich wie die Epsilon-Definition der Konvergenz. Weit komme ich so nicht. Was mir einfällt: $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Dann muss $\begin{eqnarray} Q_i \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} Q_i = [a_i, b_i] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n vol(Q_i) = \sum_{i=1}^n (b_i - a_i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \subseteq [0, b_1] + ... + [a_n, 1] \end{eqnarray}$ Hmm.
15.02.2015, 13:10	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordan-Nullmenge hallo, habe mir gedanken über diese sache gemacht: Diese menge kann ja nicht jordan-nullmenge sein, denn versuch mal, so eine einteilung von intervallen zu finden, das alle rationalen zahlen von 0 bis 1 drin sind und die summe der intervalllängen trotzdem beliebig klein wird. Das geht ja schon deswegen nicht, weil sich zwischen 2 intervallen ja auch wieder unendlich viele rationale zahlen befinden, die dann nicht abgedeckt wären. Das scheitert also letzlich daran, das die menge Q dicht in R liegt. gruss ollie3
15.02.2015, 13:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jordan-Nullmenge Man sollte vielleicht betonen, dass es nur mit endlich vielen Intervallen nicht klappt. Die Menge ist sehr wohl eine Lebesgue-Nullmenge (übedecke die abgezählten rationalen Zahlen $\begin{eqnarray} q_n \end{eqnarray}$ mit Intervallen der Länge $\begin{eqnarray} \epsilon/2^{n+1} \end{eqnarray}$ )

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