Integration, Polynom 3. Grades im Nenner |
15.02.2015, 12:57 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Integration, Polynom 3. Grades im Nenner Hallo, die Integration ist noch ein sehr neues, frisches Thema für mich und bisher habe ich leider nur wenig Durchblick, was dieses Stoffgebiet betrifft. Folgende Aufgabe ist gegeben: Meine Ideen: Ich habe bisher leider keinerlei Ansätze, wie ich dieses Integral berechnen soll bzw. welche Methode angewendet werden soll. Kann mir vielleicht bitte jemand weiterhelfen? Lösung für diese Aufgabe soll sein: |
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15.02.2015, 13:06 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Integration, Polynom 3. Grades im Nenner Ist der Integrand so wie hier eine echt gebrochen rationale Funktion (also Zählergrad < Nennergrad), dann führt Partialbruchzerlegung zum Ziel |
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15.02.2015, 13:06 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Integration, Polynom 3. Grades im Nenner den Nenner kannst Du umformen : Dann machst Du Partialbruchzerlegung |
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15.02.2015, 14:19 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aaaah! Vielen Dank. Ich habe also durch "Erraten" einer Nullstelle einen Linearfaktor gefunden, führe mit diesem die Polynomdivision durch und erhalte bei Zusammenführung der beiden Therme die Umformung des Nenners. Nun habe ich die anderen Nullstellen der Funktion gesucht und festgestellt, dass komplex-konjugierte vorliegen. Wie muss nun demzufolge die Partialbruchzerlegung aussehen? Ich habe ja kein x im Zähler? ? Das scheint mir aber wenig Sinn zu machen... Edit: Oder ist es möglicherweise bloß ? |
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15.02.2015, 14:24 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der richtige Ansatz steht bestimmt in deinen Unterlagen Also |
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15.02.2015, 21:16 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hatte in meinen Unterlagen bereits nachgeschaut und leider keine Antwort gefunden, darum habe ich nachgefragt. In meinen Aufzeichnungen befindet sich lediglich zur Partialbruchzerlegung bei komplex-konjugierten Nullstellen: Ansatz: Und dann ein Beispiel. |
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15.02.2015, 21:20 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also bedeutet das für die Aufgabe insgesamt: Hier findest Du noch weitere Erläuterungen dazu: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=445212 Im Weiteren kannst Du die Einsetzmethode verwenden (oder Koeffizientenvergleich) |
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15.02.2015, 22:13 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich nun die Partialbruchzerlegung anwende, also Und dann den Koeffizientenvergleich berechnen möchte, ergibt sich dann: Ist es bis dahin richtig? |
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15.02.2015, 22:42 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nein , das stimmt nicht Du mußt den Ausdruck mit dem Hauptnenner multiplizieren und erhälst: Das dem so ist,kannst Du hiermit überprüfen.: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm Nachtag : Der Fehler liegt beim Koeffizientenvergleich |
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15.02.2015, 23:05 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aaaaah sehr gut! Langsam wird es logisch für mich! Vielen Dank! Ich habe nun also auch den Koeffizientenvergleich berechnet und für herausbekommen. Aber wie verfahre ich nun, wenn ich integrieren möchte? Auf die obige Lösung zu kommen, scheint mir unmöglich. Allein ist mir nachvollziehbar. Entschuldigung, ich merke selbst, dass ich noch sehr viel Übung im Bereich des Integrierens benötige. |
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15.02.2015, 23:37 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja , da hast du Dir auch ein wirklich nicht ganz einfaches Integral herausgesucht. eingesetzt ergibt das: das 2. Integral mußt Du jetzt zerlegen (in 2 Integranden) 1. Integral: Im Zähler steht die Ableitung des Nenners 2. Integral: Lösung über die quadratische Ergänzung. Hast Du eine Idee? |
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16.02.2015, 10:37 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe versucht, mich über Literatur zu informieren und in Erfahrung zu bringen, wie ich weiterhin verfahren muss. Leider ohne großen Erfolg. Auch Dein Hinweis zum 1. und 2. Integral hat leider nicht die erhoffte Erleuchtung gebracht. Allerdings habe ich in meinen Aufzeichnungen einen Ansatz gefunden (der vielleicht auch ganz und gar falsch ist), aber er lautet mit mit und Wenn ich mich nicht täusche, entspricht doch genau dieses Vorgehen, Deinem gegebenen Tipp? Denn auch hier findet sich die quadratische Ergänzung wieder? Und mein Integral hat dieselbe Form wie dieses theoretisch dargestellte. Ich werde versuchen das Verfahren anzuwenden. |
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16.02.2015, 11:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du noch statt schreibst, dann sieht das soweit erstmal richtig aus. |
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16.02.2015, 11:36 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die quadratische Ergänzung samt Integral würde also heißen Wenn ich also meinen Aufzeichnungen folge, dann ist in der Theorie entsprechend umgesetzt ? Muss ich nun von t^2 und a^2 die Wurzeln ziehen, damit ich zum arctan und ln integrieren kann? |
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16.02.2015, 12:17 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auch Dein Hinweis zum 1. und 2. Integral hat leider nicht die erhoffte Erleuchtung gebracht. ich meinte das so: Du zerlegst das Integral in 2 Integrale: 1. Integral: Lösung über die quadr. Ergänzung 2. Intergral : Hier gibt es ein entsprechendes Gesetz Jetzt solltest Du verstehen , was ich meinte. |
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16.02.2015, 13:05 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Darf ich fragen, wie Du von diesem Schritt zu diesem hier kommst ? |
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16.02.2015, 16:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dahinter steckt lediglich . |
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16.02.2015, 18:43 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber woher kommt das Wissen, die 0.5 herausziehen zu müssen? Ich verstehe jetzt, dass ich die Aufgabe über Substitution und quadratische Ergänzung lösen muss, aber die 0.5? Erkenne ich das an irgendetwas? Und warum ist mein vorheriges Vorgehen falsch gewesen? Hätte ich dieses nicht verwenden können? |
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16.02.2015, 19:45 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hinzukommt, dass auch die Integration mittels quadratischer Ergänzung nicht gelingen will: Das sieht keineswegs nach dem schönen Logarithmus in der Lösung aus, die ich ganz am Anfang meiner Frage aufgeschrieben habe. |
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16.02.2015, 19:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist , daher will man diesen Term statt im Zähler haben im Hinblick auf eine logarithmische Differentation bzw. Integration . Also sucht man nach einer Zerlegung , wobei sich per Koeffizientenvergleich und ergibt. Also keine Zauberei oder ominöses Wissen, sondern völlig normales Standardvorgehen.
Dein Vorgehen ist nicht falsch, es entspricht gewissermaßem diesem Zugang, nur dass du das eben über die Substitution regeln willst.
Es geht hier nicht um , sondern um . |
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16.02.2015, 19:59 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe das Gefühl, langsam aber sicher an der Aufgabe zu verzweifeln. Könnten wir bitte wieder den Weg aufnehmen, den ich vorhin aus meinen Aufzeichnungen gezogen habe? Ich verstehe deine Erklärungen und es macht Sinn, aber im Großen und Ganzen habe ich gerade nur das Gefühl, einen riesiges Chaos an Vorangehensweisen und Berechnungen im Kopf zu haben. Wo lag der Fehler bei meiner veranschlagten Methode? EDIT: Okay! Ich verstehe. Woher weiß ich, dass es ein arctan wird und kein ln? |
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16.02.2015, 20:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht hast du meine letzte Ergänzung nicht gelesen, aber gehe ruhig und konzentriert deinen Substitutionsweg, vermeide auch lästige Vorzeichenfehler (wie zuletzt geschehen), dann sollte sich letztendlich alles richtig zusammenfügen. |
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16.02.2015, 20:19 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der arctan wurde soeben geknackt. Ich habe ihn jetzt so wie in der Lösung berechnen können (wobei Du ihn schon eher für mich berechnet hast, als ich ihn für mich). Das letzte Integral sollte ich durch Substitution, denke ich, berechnen können. Könntest Du mir vielleicht nur noch einmal erläutern, woher du wusstest, dass sich für das zuletzt besprochene Integral ein arctan ergeben würde? Ich weiß, dass ist. Aber hätte es nicht genauso gut ein Logarithmus sein können oder habe ich gerade einen Denkfehler? |
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16.02.2015, 21:25 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Allenfalls ein "komplexer" Logarithmus, der dann durch die Hintertür wieder zum Arcustangens wird. Bei gibt es strukturelle Unterschiede ja nach Charakteristik der Nullstellen der quadratischen Nennerfunktion: - zwei reelle Nullstellen: Summe zweier Logarithmen - keine reelle Nullstelle: Eine Arkustangens-Funktion Beides kommt (s.o.) dann über passende lineare Substitutionen zustande. |
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17.02.2015, 10:25 | DrHWI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen lieben Dank für die aufwendige und nicht ganz einfach Hilfe!! |
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