Sin(x)=Cos²(x) lösen

15.02.2015, 17:16

ShortQ

Sin(x)=Cos²(x) lösen

Moin

Ich möchte folgende Gleichung nach x auflösen:

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \cos²(x) \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich da am besten vor?
Ich bin momentan nicht in der Lage eine gescheiten Ansatz zu finden?

Trigonometrische Funktionen sind mir echt unsympathisch.
Additionstheoreme nutzen?!

15.02.2015, 17:17

Mathema

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Nutze den trigonometrischen Pythagoras.

Wink

25.02.2015, 09:30

E.-Jack

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Moin,
sitze vor der selben Aufgabe.
Ich habe den Trigonometrischen Pythagoras angewendet und anschließend versuch mit Substitution ans Ziel zu kommen,
aber dabei kommt bei mir in der P-Q-Lösungsformel -3/4 als Diskriminante raus.
Ich weiß jedoch, dass die Lösung nicht komplex sein soll, sondern ca. so lauten müsste:
$\begin{eqnarray*} 2 \left(n\pi +\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}-\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}\right)\right) \end{eqnarray*}$

25.02.2015, 09:48

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Zitat:

Original von E.-Jack
dabei kommt bei mir in der P-Q-Lösungsformel -3/4 als Diskriminante raus.

Bei z²+z-1=0?

Viele Grüße
Steffen

25.02.2015, 09:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von E.-Jack
Ich weiß jedoch, dass die Lösung nicht komplex sein soll, sondern ca. so lauten müsste:
$\begin{eqnarray*} 2 \left(n\pi +\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}-\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Die Ausgangsgleichung hat zwei Lösungen pro Intervall der Länge $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ - du hast hier nur die eine davon angegeben (sieht auch etwas überkompliziert "verwurzelt" aus - das geht auch einfacher).

25.02.2015, 10:49

E.-Jack

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@Steffen Bühler,
vielen dank fürs Willkommen heißen.

Ja natürlich -(-1) ...
Es ist wirklich unglaublich, dass ich diesen Fehler doch tatsächlich sowohl in der Prüfung,
als auch eben beim erneuten nachrechnen gemacht habe. Natürlich erhält man ein reelles Ergebnis Freude

@HAL 9000
Ja die Formel war an sich schon so lang, dass ich nur eines der beiden Ergebnisse hingeschrieben hatte.
Zusätzlich hatte ich vergessen, zu erwähnen dass es auch noch eine 2. Lösung gibt.
Muss ja so sein, da wir einen quadratischen Term haben.

Ich denke, dass ich nun jedoch bei der Rücksubstitution etwas falsch mache.
Für $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} x_{1}=\arcsin\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+n2\pi \end{eqnarray*}$
Darf ich das so machen?
Oder muss ich da nochmal speziell wegen den Definitions- und Wertebereichen der sinus- und arcsinus-Funktionen
etwas beachten?

Aber für $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ klappt dass nicht,
da 1,61... außerhalb des Definitionsbereiches der arcsin-Funktion liegt.
Ich bin mir gerade unsicher, was ich in einem solchen Fall tun soll.

25.02.2015, 11:15

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von E.-Jack
$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

Nicht eher $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Dein Problem tritt aber dennoch auf, nur mit anderem Vorzeichen:

Zitat:

Original von E.-Jack
Aber für $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ klappt dass nicht

Nicht im Reellen, in der Tat. Es gibt dann eben noch eine komplexe Lösung. Ist das schlimm?

25.02.2015, 11:49

HAL 9000

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(wieder mal) unzureichende Kenntnisse bei der Sinus-Umkehrung

Zitat:

Original von E.-Jack
Ich denke, dass ich nun jedoch bei der Rücksubstitution etwas falsch mache.
Für $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} x_{1}=\arcsin\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+n2\pi \end{eqnarray*}$
Darf ich das so machen?

Genau hier hakt es, dabei meine ich noch nicht mal nur den von Steffen angesprochenen Vorzeichenfehler. Was die reellen Lösungen deiner Gleichung angeht, geht es ausschließlich um $\begin{align*} \sin(x) = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{align*}$ , aber eben diese Gleichung hat zwei Lösungsscharen:

$\begin{align*} x_1 = \arcsin\left( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right) + 2n\pi \end{align*}$

$\begin{align*} x_2 = -\arcsin\left( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right) + (2n+1)\pi \end{align*}$ .

25.02.2015, 12:24

E.-Jack

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Nicht eher $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Ah ja ich habe das " - " Im Formeleditor vergessen. Ich editire gleich mal meinen Post und stelle das richtig.
Ich habe die selbe Lösung raus, wie ich sie bei meinem ersten Post angegeben hatte

Beides ergibt dann $\begin{eqnarray*} x_{1}= 2n \pi + 0,666... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HAL 9000

zwei Lösungsscharen:

Wie kommt man darauf? Also wie genau geht man da vor?
Ich weis für den arcsin(x) gilt im Standard Intervall $\begin{eqnarray*} f:\left[-1,1\right]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$

Aber ich weiß mit dieser Information noch nicht um zu gehen.

25.02.2015, 13:31

E.-Jack

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Irgendwie kann ich meinen eigenen Post nicht editieren.
Es kommt immer die Meldung, dass ich 15 Minuten warten müsste, bevor ich einen Post ändern kann.
Der Post ist zwar schon fast 2 Stunden her aber gut.

Was ich noch hinzufügen kann ist, dass für den sin(x) gilt: $\begin{eqnarray*} f:\left[\mathbb R \right]\to\left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$
Mit der Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \Rightarrow sin(x)= sin(x+2\pi) \end{eqnarray*}$ (i)

@HAL 9000
Und wenn ich es richtig verstanden habe, dann bedeutet deine Aussage, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} sin(x)= -sin(x+(2n+1)\pi) \end{eqnarray*}$ (iI)

Was mir einleuchtet. Wie schreibt man so etwas denn Mathematisch korrekt auf, wenn es darum geht die Lösungen für sin(x)= ... an zu geben? Muss man immer diese beiden Fälle (i),(ii) beachten?
Bisher habe ich dies noch nie gemacht.

25.02.2015, 13:43

HAL 9000

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Der Sinus besteht im Grundintervall der Länge $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ aus zwei Teilen:

Nur der rote Teil wird von $\begin{align*} \arcsin \end{align*}$ erfasst, der grüne Teil ist bei der Umkehrung aber auch nicht zu vernachlässigen!!! Warum nur machen das die meisten falsch bzw. "vergessen" das - legt man heute da keinen Wert drauf in der Schule? unglücklich

25.02.2015, 13:56

Mathema

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Zitat:

legt man heute da keinen Wert drauf in der Schule? unglücklich

Ich kann nicht für die Allgemeinheit sprechen, aber für mich würde ich es erstmal verneinen wollen. Augenzwinkern

Den zweiten Lösungsstrang kann man sich leicht über den Einheitskreis verdeutlichen. Haben wir eine Lösung $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ gefunden, welche die Bogenlänge von Null ausgehend in (mathematisch) positive Richtung beschreibt, erhalten wir eben denselben Sinuswert, als wenn wir von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ausgehend den Bogen "zurücklaufen". Ist $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ somit eine Lösung, ist $\begin{eqnarray*} x_2=\pi-x_1 \end{eqnarray*}$ die zweite Lösung.

25.02.2015, 14:06

HAL 9000

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Deswegen habe ich ja "die meisten" statt "alle" geschrieben. Und zu "alle" wird aus auch nie kommen, denn selbst bei nachlässigen Lehrern wird es immer helle Köpfe geben, die von selbst merken, wie es richtig geht - etwa durch solche Überlegungen im Einheitskreis, wie du sie da gerade angestellt hast. Augenzwinkern

Aber ich gleite ins off-topic ab, deswegen (zumindest meinerseits) Schluss mit diesem Exkurs. Big Laugh

25.02.2015, 14:25

E.-Jack

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Vielen Herzlichen Dank für die schnelle und verständliche Hilfe! Steffen Bühler, HAL 9000 und auch Mathema.
Es hat mir sehr geholfen! Cool dass ihr hier tätig seid!

Ich muss gestehen, dass ich das in der Schule (erst Haupt, dann Werkreal, dann Technisches Gymnasium) wirklich nicht mitbekommen habe, was sicher an meinem alternativen Bildungsweg liegt.
Gerade das Thema Umkehrfunktionen wurde bei uns sehr knapp behandelt.
Und wenn eigentlich nur für Polynome oder e-Funktionen,
aber bei den trigonometrischen Funktionen fehlt mir echt viel an wissen.
Erst jetzt im Studium merke ich das besonders, wo alles Lücken sind.

Deshalb bin ich ja jetzt hier ins Forum um solche Lücken zu schließen!
Nochmals vielen Dank und einen Schönen Tag.

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