Flächeninhalt unabhängig vom Parameter

15.02.2015, 17:21

Hanna.h.

Flächeninhalt unabhängig vom Parameter

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich übe grad für mein Abitur und bin auf ein Problem gestoßen.
Es geht um folgende Aufgabe:

h_{n}(x)=1/2x+sin(n*x)

x \in [0;2\pi]

Die Gerade mit der Gleichung y=1/2x und das Schaubild K_{n} begrenzen Flächenstücke.
Zeigen Sie, dass alle Flächenstücke gleich groß sind und dass der Inhalt nicht von n abhängt.

Meine Ideen:
Zunächst einmal habe ich die Schnittpunkte von K_{n} und y=1/2x berechnet.
Ich erhalte x= 0, \pi/n, 2*\pi/n .. usw.

Als nächsten Schritt würde ich das Integral bilden und wenn da 0 rauskommt dann würde ich ja bewiesen haben, dass alle Flächenstücke gleich groß sind.
Aber ich hab ja keine wirklichen Grenzen und dann kommt ja immer was in Abhängigkeit von n raus.

Ich weiß nicht so recht wie ich den Gedanken weiterspinnen soll. Ich vermute ich brauche einen kleinen Anstupser.

Danke im Voraus.

15.02.2015, 21:51

mYthos

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Wenn du nur beweisen wolltest, dass die Summe aller orientierten Flächen Null ist, ist noch lange nicht gesichert, dass die Summe aller Flächen für jedes n gleich ist.
Damit ist lediglich ausgesagt, dass sich die positiv und negativ orientierten Flächen aufheben.
Vielmehr musst du dich von Nullstelle zu Nullstelle "entlang integrieren" und die Teilflächen absolut genommen summieren.

Dass sich dabei immer 4 FE ergeben müssen, ist leicht einzusehen, wenn man einmal $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und dann von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ durchintegriert (--> jeweils 2 FE).

Übrigens ist die zweite Funktion $\begin{eqnarray*} \frac x 2 \end{eqnarray*}$ mehr oder weniger nur zur Verwirrung gedacht, denn diese $\begin{eqnarray*} \frac x 2 \end{eqnarray*}$ tauchen auch bei der ersten Funktion auf und nach Differenzbildung fallen diese ja heraus.
Daher ist diese Eigenschaft der gleichen Flächenstücke auch von der reinen Sinusfunktion $\begin{eqnarray*} \sin(nx) \end{eqnarray*}$ bei Nullstellen mit der x-Achse gegeben.

Die Nullstellen hast du richtig berechnet, sie sind $\begin{eqnarray*} 0,\ \frac{\pi} n, \ \frac{2\pi} n, \ \frac{3\pi} n, \ .. \ , \ \frac{(n-1)\pi} n, \ 2\pi \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du nur noch zu zeigen, dass alle bestimmten Teilintegrale innerhalb dieser Grenzen gleich groß $\begin{eqnarray*} \frac 2 n \end{eqnarray*}$ FE sind, was voraussichtlich nicht allzuschwer werden wird.

mY+

16.02.2015, 11:11

Hanna.h.

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Okay also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann sind die Flächen die 1/2x*sin(n*x) und 1/2x begrenzen genau so groß wie die Flächen die die x-Achse und sin(n*x) begrenzen, da bei der Differenzbildung die 1/2x herausfallen.

Dann integriere ich die EINZELNEN Flächen und erhalte betragsmäßg jedes mal 2/n.

So weit habe ich das verstanden. Damit hätte ich dann ja auch bewiesen, dass alle Flächen gleich groß sind.

ABER: Ich erhalte ja als Ergebnis für die Flächen immer 2/n das heißt doch, dass das Ergebnis von n abhängt. Oder verstehe ich das falsch?

Vielen Dank für die Hilfe! smile

16.02.2015, 11:29

mYthos

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Diese Teilflächen zu je 2/n musst du natürlich dann mit deren Anzahl multiplizieren, also mit 2n, das macht dann 4 FE im Gesamten.

mY+

16.02.2015, 12:18

Hanna.h.

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Achsooooooo! Jetzt hat's Klick gemacht! Dankeschön!

Ich will nicht nerven, aber bei der nächsten Teilaufgabe komme ich schon wieder in Schwierigkeiten.

Und zwar geht's darum:
Untersuchen Sie ob es einen Wert von n gibt, für den Kn eine Wendetangente mit der Steigung -4,5 hat.

Meine Idee:
Zweite Ableitung in Abhängigkeit von n Null setzen, dann kommen die Schnittstellen von der vorherigen Aufgabe heraus.
Dann würde ich rein theoretisch die Gleichung der Wendetangenten aufstellen und die Steigung mit -4,5 ansetzen und jeweils nach n auflösen.
Aber das klappt nicht so recht, ich hab ja immerhin nicht nur einen Wendepunkt.

Als nächstes hab ich mir überlegt einfach irgendeinen Schnittpunkt, also sagen wir pi-Halbe in die erste Ableitung einzusetzen und das mit -4,5 gleichzusetzen.
Ich versteh es nicht so ganz.

Ich hab oft Probleme bei solchen Aufgaben in Abhängigkeit eines Parameters.
Gibt es da irgendwelche Tipps?

Sorry dass ich so viel frage und danke nochmal.

16.02.2015, 19:36

mYthos

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Die Fragen passen schon, sie betreffen ja immer noch die gleiche Aufgabe.
Die Wendepunkte befinden sich an den gleichen Stellen wie die Nullstellen, denn die Gleichung beim Nullsetzen der 2. Ableitung hat dieselben Lösungen, wie du bereits festgestellt hast.

$\begin{eqnarray*} (1): \ \sin(nx) = 0 \end{eqnarray*}$

Für die Bedingung der Steigung m = -4,5 muss - mittels der 1. Ableitung - gelten:

$\begin{eqnarray*} n \cos (nx) + \frac 1 2 = -4,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \cos (nx) = -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos (nx) = - \frac 5 n \end{eqnarray*}$

Wegen Gleichung (1) gilt nun auch:

$\begin{eqnarray*} \cos (nx) = 1 \ \text{oder} \ \cos (nx) = -1 \end{eqnarray*}$

Kannst du das nun zu Ende führen?

mY+

17.02.2015, 16:09

Hanna.h.

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Zitat:

Wegen Gleichung (1) gilt nun auch:

$\begin{eqnarray*} \cos (nx) = 1 \ \text{oder} \ \cos (nx) = -1 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe den Teil nicht so ganz. Warum gilt denn das?

18.02.2015, 18:49

mYthos

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Wenn sin (nx) = 0, dann ist nx = 0, pi, 2pi, 3pi, .. usw
Die dazugehörigen cos-Werte: cos (nx) sind (alternierend) deswegen +1, -1, +1, -1, ... usw.
-->
Überall, wo sin (w) gleich Null ist, ist cos (w) gleich +1 oder -1

mY+

18.02.2015, 19:28

Hanna.h.

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Okay, jetzt habe ich es verstanden.

Wenn ich das zu Ende führe bekomme ich für n=5.
n= -5 ist nicht erlaubt da n ja nur natürliche Zahlen sein sollen, ohne die Null.

Als Wendepunkt bekomme ich W(pi/5|pi/10)

Danke für deine tatkräftige Unterstützung. Hast mir sehr weitergeholfen! smile

19.02.2015, 00:31

mYthos

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Ja, das stimmt so. smile

Vielleicht noch ein Hinweis: Es gibt nicht nur einen Wendepunkt mit dieser Eigenschaft der Wendetangente, sondern jene, deren x-Werte pi/5, 3pi/5, pi, 7pi/5, .. betragen.

mY+

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