Varianz der Geometrischen Verteilung

20.08.2004, 11:45	oma99	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz der Geometrischen Verteilung Wie berechnet man die Varianz der geometr. Vert. die ja (1-p)/p^2 ist. Ich weiß nur, dass man diesen "Trick" anwenden muss: Betrachte die geometrische Reihe von 1 bis Unendlich. Ableiten. ...
20.08.2004, 14:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so geht das. Beginnen wir mit der geometrischen Reihe und differenzieren wir zweimal. Dann gilt für \|x\|<1: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}~x^k = \frac{1}{1-x} \ , \ \ \sum_{k=1}^{\infty}~kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \ , \ \ \sum_{k=2}^{\infty}~k(k-1)x^{k-2} = \frac{2}{(1-x)^3} \end{eqnarray}$ Ist nun X (mit den Werten k=1,2,3,...) geometrisch verteilt, so heißt das (mit q=1-p) $\begin{eqnarray} P(X=k) = pq^{k-1} \end{eqnarray}$ Und der Erwartungswert ist $\begin{eqnarray} \mu = E(X) = \sum_{k=1}^{\infty}~kpq^{k-1} \end{eqnarray}$ Den solltest du zuerst berechnen. Ziehe dazu p vor die Summe, verwende die zweite der Formeln vom Anfang und beachte 1-q=p. Wenn du alles richtig machst, erhältst du µ=1/p. Und jetzt zur Varianz. Die ist bekanntlich Var(X)=E(X²)-µ². µ=1/p ist schon bekannt, also mußt du noch E(X²) bestimmen. X² hat die Werte k²=1,4,9,... . Daher gilt: $\begin{eqnarray} E(X^2)=\sum_{k=1}^{\infty}~k^2 pq^{k-1} = \sum_{k=1}^{\infty}~(k^2-k+k) pq^{k-1} = \sum_{k=2}^{\infty}~k(k-1) pq^{k-1} + \sum_{k=1}^{\infty}~k pq^{k-1} \end{eqnarray}$ Und hier ist die hintere Summe wieder unser µ und bei der vorderen Summe klammerst du pq aus. Den Rest solltest du selbst herausbekommen.
21.08.2004, 11:14	oma99	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank ... für die schnelle und sehr hilfreiche Antwort.
19.05.2010, 09:14	MaVeBo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Kann man das auch ohne die Ableitungen lösen? Ich habe leider keine Ahnung wie ich das angehen soll...
19.05.2010, 09:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kommt auch der Weg über das Cauchy-Produkt in Frage, ohne jede Ableitung: Grenzwert einer Reihe Summe berechnen
19.05.2010, 09:43	MaVeBo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön So habs geschafft! vielen Dank für den Tip!
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