Grenzwertberechnung einer Reihe

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Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung einer Reihe
Meine Frage:
Es sei:

Berechne die Grenzwerte und untersuchen sie die Folge auf Monotonie.

Meine Ideen:
Meine Überlegung ist: steigt schneller an als . Somit müsste die Reihe, unabhängig von da , gegen gehen. Der Grenzwert müsste bei liegen.

Betrachte ich jetzt nur und benutze hierbei das Quotientenkriterium:



Im Fall konvergiert die Reihe ja.

Ich nehme
und setze es ein.

Damit habe ich:

das hier heraus.
Aber wenn ich den Kehrwert hierbei anwende habe ich das hier:


Ab hier komme ich nicht weiter da doch beide Brüche jeweils im Nenner und Zähler geben müsste, was man aber eigentlich doch nicht ausdrücken dürfte.

Was mache ich nun um hierbei eine Voraussetzung zu erlangen oder und wie gehe ich für die weitere Grenzwertberechnung vor.

Ich muss wohl irgendwo was falsch gemacht haben.
Vielen Dank schon mal für diejenigen die sich damit auseinander setzen und mir helfen.

Edit: Monotonie bestimmen habe ich mit

bestimmt.
müsste dabei rauskommen, wegen der 1 ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
steigt schneller an als . Somit müsste die Reihe, unabhängig von da , gegen gehen.

Was?! Die Summanden der Reihe sind offensichtlich alle und der erste Summand ist bereits ...

Was soll die Sache mit dem Quotientenkriterium überhaupt? Das die Reihe konvergiert sieht man sofort, schau dir mal die Definition von an, dann erkennst du sogar den Grenzwert.

Monotonie folgt auf dem, was ich zuerste gesagt habe.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Woran sieht man, dass die Summanden für ist.

Sehen hilft mir ja nicht viel. Ich muss es ja auch beweisen. Daher dachte ich, dass ich die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium machen kann. Wie hätte ich es denn sonst beweisen können?

Mit der Definition meinst du

und mit
oder was meinst du damit, wenn ja trifft dass auch auf
zu und warum?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyneon
Woran sieht man, dass die Summanden für ist.

Verstehe die Frage nicht. Es ist doch leicht zu sehen, daß immer positiv ist.

Zitat:
Original von Cyneon
Mit der Definition meinst du

Du meinst wohl: smile

Zitat:
Original von Cyneon
oder was meinst du damit, wenn ja trifft dass auch auf
zu und warum?

Wie wäre es mit ?
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wächst der Nenner nicht schneller als der Zähler?
Wenn ich für nehme, dann wird das ja ganz klein . Es ist ja immer aber geht doch gegen 0 ? Im unendlichen müsste dass doch 0 sein?


Ja wollte eigentlich schreiben.


Wenn ich das umschreiben würde, wäre das ja mit



Ich weiß leider nur nicht wie mir das weiterhelfen soll. Es hilft mir das nicht nur zu sehen. Ich muss es ja schriftlich begründen. Da kann ich ja nicht einfach hinschreiben: " Ich sehe, dass die Reihe konvergiert und > 0 ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyneon
Aber wächst der Nenner nicht schneller als der Zähler?
Wenn ich für nehme, dann wird das ja ganz klein . Es ist ja immer aber geht doch gegen 0 ? Im unendlichen müsste dass doch 0 sein?

Die Summanden gehen gegen Null (das müssen sie auch für Reihenkonvergenz), der Reihenwert aber nicht.

Zitat:
Original von Cyneon
Wenn ich das umschreiben würde, wäre das ja mit



Was soll jetzt der Unfug? Es geht um die Konvergenz einer Reihe, die große Ähnlichkeit mit der Exponentialreihe hat, wenn man mal x = Wurzel(3) setzt.
 
 
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ein kleines Beispiel. Wenn du als ersten Summanden eine 3 hast und danach nur noch Nullen aufsummierst, also 3+0+0+0+0+0+..... Dann werden die Summanden auch gegen 0 gehen, genau wie bei deiner Reihe. Ist der Wert dieser Summe deswegen 0 ?
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Warum geht der Reihenwert nicht gegen 0 ? Das verstehe ich noch nicht wirklich.
Wie bekomme ich dann da mein Ergebnis für die Reihe.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Das leuchtet ein aber im Bezug auf die Reihe kapier ich das leider nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyneon
Warum geht der Reihenwert nicht gegen 0 ? Das verstehe ich noch nicht wirklich.

Du verwechselst zum wiederholten Male die (für die Reihenkonvergenz) notwendige Konvergenz der Reihenglieder gegen Null mit dem eigentlichen Reihenwert - mach dir doch bitte den Unterschied klar!

Zitat:
Original von Cyneon
Wie bekomme ich dann da mein Ergebnis für die Reihe.

Alle zur Berechnung wesentlichen Tipps stehen im Beitrag von klarsoweit (heute 14:59), vorher schreibt man deine Folge um zu .
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Verständnis über die Exponentialreihen ist nicht wirklich groß, da wir uns eigentlich nie damit beschäftigt haben.

Wie bist du denn auf die 3 gekommen?


So ?

Könnte man dann schreiben ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyneon
Wie bist du denn auf die 3 gekommen?

Wenn ich der Summe das Glied für hinzufüge



dann muss ich das vorn korrigieren. Augenzwinkern
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Du verwechselst zum wiederholten Male die (für die Reihenkonvergenz) notwendige Konvergenz der Reihenglieder gegen Null mit dem eigentlichen Reihenwert - mach dir doch bitte den Unterschied klar!


Nochmal hier zurück.

Ich muss ja einmal bestimmen ob es konvergiert und einmal den Reihenwert ( Das Ganze ist ja der Grenzwert )

aber damit:
Zitat:
Original von HAL 9000



dann muss ich das vorn korrigieren. Augenzwinkern


rechne ich dann ja letztendlich sozusagen den Grenzwert raus? Ich habe damit doch nicht die Konvergenz bestimmt?

Irgendwie bin ich jetzt durcheinander.


Wäre der Grenzwert für dann und für dann
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe
Irgendwie scheint es, als würdest du die Beiträge nicht mit der nötigen Konzentration lesen. Wir bleiben mal nur bei der Reihe



Für n gegen unendlich hat das doch schon große Ähnlichkeiten mit der (hoffentlich im Schlaf bekannten) Exponentialreihe:



Ein Unterschied ist, daß "deiner" Reihe der Summand für k=0 fehlt. Diesen "Schaden" kann man problemlos beheben, indem man den fehlenden Summanden addiert und direkt wieder subtrahiert. Das führt zu:



Und diese tolle Operation hat mit der Grenzwertbildung nichts, aber auch rein gar nichts, zu tun.

Wenn man jetzt nochmal mit der Exponentialreihe vergleicht, muß man sich nur noch fragen, was man für x wählen muß, damit es paßt.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe
Das Problem bei mir liegt wohl darin, dass wir Exponentialreihen nicht in dem Maße behandelt haben, um das zu bearbeiten. Das Wort kommt bei uns im Skript genau 2 mal dran. Wir müssen uns das wohl selber erarbeiten. Jedoch finde ich keine Seite die mir das verständlich erklärt, warum dass denn so ist.

Wenn ich habe
und es mit der Exponentialreihe vergleiche:

Soll ich dann x so wählen dass sich die Reihe dem nähert?

Die Seite zeigt zwar wie was ist und z.T. warum aber wisst ihr vielleicht, wo man anhand eines Beispieles das Ganze erklärt?

wikiversity.org/wiki/Komplexe_Exponentialfunktion_%C3%BCber_Exponentialreihe/Einf%C3%BChrung/Textabschnitt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe
Nochmal: die Exponentialreihe lautet korrekt:

Und du sollst das x so wählen, daß aus der Reihe die Reihe wird.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer Reihe
Das würde ja nur mit gehen.





oder?

Soll ich dann für den Reihenwert wählen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
seltsame Wortwahl
Zu wählen gibt es da nichts: Der Reihenwert ist . Augenzwinkern
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt also egal wie meine Reihe aussieht, wenn sie der Exponentialreihe "zugehörig" ist, dann muss ich mir immer im Gedanken das klar machen:

Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Ich habe ja den Grenzwert damit ausgerechnet. Wie untersuche ich das Ganze auf Monotonie?

Monotoniekriterium wäre das hier ? : ...Wenn ja was mache ich dann mit der Fakultät?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cyneon
Wie untersuche ich das Ganze auf Monotonie

Sag mal, liest du überhaupt die Beiträge? Das steht seit über einem Tag da:

Zitat:
Original von bijektion
Was?! Die Summanden der Reihe sind offensichtlich alle

[...]

Monotonie folgt auf dem, was ich zuerste gesagt habe.


Oder nochmal ausführlichst: Für wachsendes kommen bei



immer nur positive Summanden hinzu, d.h. der gesamte Ausdruck wächst monoton in . Für



heißt das wegen des "-" vor der Summe natürlich, dass monoton fallend ist.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meine Frage da wohl nicht richtig gestellt. Das was du mir gesagt hast, war mir schon klar. Nur bin ich mir nicht sicher, ob man das so wie du das begründest auch für eine Klausur gelten lassen kann. Da zu einer Lösung auch ein ausführlichen analytischer Weg dazu gehören sollte. (Du schaust dir ja nur an was passiert und kommst so zur Lösung.) Kann man die Lösung auch anders darstellen, also nur mit Zahlen?
[2x=3+y => y=2x-3 ...als Beispiel, also nur mit Zahlen. ]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Nur mit Zahlen"? Was soll das denn bedeuten?

Zwar nicht "nur mit Zahlen", aber vielleicht verständlicher: Wegen



kannst du auch schreiben , womit die Monotonie auch dem letzten klar sein sollte.
Cyneon Auf diesen Beitrag antworten »

Mehr wollt ich nicht wissen. Nur ob man das mit mehr Zahlen darstellen kann.
Danke für die Mühe.
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