Strenge Monotonie zeigen, Parameter

15.02.2015, 22:16

Tempi

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Strenge Monotonie zeigen, Parameter

Hallo zusammen,
ich bin bei folgender Aufgabe etwas verwirrt:

Ich soll zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f_{a} (x)= \frac{a}{e^{2x} +a} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ streng monoton ist, aber nicht für $\begin{eqnarray*} a\leq 0 \end{eqnarray*}$ .
Erstmal habe ich versucht die Funktion in Intervalle aufzuteilen. Dafür untersuche ich die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'_{a} (x)= \frac{-2ae^{2x} }{(e^{2x}+a)² } \end{eqnarray*}$ auf Nullstellen. Der Zähler wird Null für $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ oder für $\begin{eqnarray*} e^{2x} = 0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ aber nie Null sein kann machte sich hier meine erste Verwirrung breit. Ist das jetzt eine Extremstelle bei $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder nicht? Denn die ganze Funktion wird für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ Null und ist somit doch keine Funktion mehr?

Dann habe ich mir gleich die Ableitung genauer angeschaut und man kann direkt erkennen , dass
$\begin{eqnarray*} f'_{a} (x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a <0 \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend,
$\begin{eqnarray*} f'_{a} (x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a =0 \end{eqnarray*}$ nichts(?) und
$\begin{eqnarray*} f'_{a} (x) <0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a >0 \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist.

Jetzt hat mich die Aufgabenstellunge noch verwirrt, da hier nacht $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\leq0 \end{eqnarray*}$ gefragt wird, aber mein Ergebnis mir sagt, die Funktion ist streng monoton für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ , aber eben nicht für $\begin{eqnarray*} a\leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Und dann frage ich mich noch, ist durch meine Formulierungen jetzt auch alles richtig "gezeigt"? Denn "zeigen" hört sich für mich immer etwas streng formell an und so wie ich es bis hierher gemacht habe ist es eher niedergeschriebene Argumentation.

Vielen Dank schon mal im Voraus Freude

Freude

15.02.2015, 22:25

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RE: Strenge Monotonie zeigen, Parameter
Den Fall a>0 hast du korrekt behandelt.
Für a=0 hast du schlicht eine konstante Funktion und deren Monotonieverhalten ist sehr übersichtlich.
Denn Fall a<0 musst du genauer betrachten, weil der Nenner eine Nullstelle hat.

15.02.2015, 22:45

Tempi

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RE: Strenge Monotonie zeigen, Parameter
Dann hat die Funktion für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ kein Monotonieverhalten?

Bei der Nullstelle des Nenners komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{ln(-a)}{2} \end{eqnarray*}$ . Disese tritt nur auf wenn $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ ist, für $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist diese nicht definiert. Aber wie beeinflusst das jetzt mein Monotonieverhalten? verwirrt

verwirrt

15.02.2015, 22:54

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RE: Strenge Monotonie zeigen, Parameter
Eine konstante Funktion ist monton wachsend und monoton fallend, aber eben nicht streng.
Für a<0 ist es ähnlich wie bei $\begin{eqnarray*} h(x)= \frac 1 x, \; x\neq 0 \end{eqnarray*}$

15.02.2015, 23:11

Tempi

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x)= \frac 1 x, \; x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist doch auch streng monoton steigend? Immerhin steigt sie ständig.
Oder habe ich hier etwas mit der Definition nicht verstanden? Irgendetwas mit $\begin{eqnarray*} f_{a} (u) \leq f_{a} (v), u\leq v \end{eqnarray*}$ gilt nur auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ ?

15.02.2015, 23:22

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Also der Reihe nach

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'_{a} (x) <0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a >0 \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist.

ist falsch. Das habe ich vorhin übersehen. Die Funktion ist natürlich streng monoton fallend.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h(x)= \frac 1 x, \; x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist doch auch streng monoton steigend? Immerhin steigt sie ständig.

das ist falsch. Mach dir eine Skizze.
Richtig ist, dass h auf den Intervallen, auf denen sie differenzierbar ist, streng monoton fällt.

Qualitativ bekommst du für dein f_a das gleiche, also strenge Monotonie auf Intervallen.

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15.02.2015, 23:57

Tempi

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Ach hoppla ich hab in den letzten Antworten öfters mal die Pole in meinem Kopf vertauscht. Hab es mit Hochpunkt und Tiefpunkt aus der 2. Ableitung verwechselt, aber es geht ja hier nur um die Steigung Hammer

Hammer

Dann macht $\begin{eqnarray*} f'_{a} (x) \end{eqnarray*}$ (genauso wie $\begin{eqnarray*} f_{a} (x) \end{eqnarray*}$ ) einen Sprung bei $\begin{eqnarray*} x= \frac{ln(-a)}{2} \end{eqnarray*}$ und es lässt sich sagen, dass

$\begin{eqnarray*} f'_{a} (x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a <0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend für $\begin{eqnarray*} x= (-\infty, ln(\frac{-a}{2} ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (ln(\frac{-a}{2}), \infty ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'_{a} (x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$ monoton wachend und fallend(?) und
$\begin{eqnarray*} f'_{a} (x) <0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a >0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist.

16.02.2015, 00:01

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Bei den Intervallen ist dir noch ein Fehler unterlaufen, sonst ok.

16.02.2015, 00:11

Tempi

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Meinst du die vergessene Klammer oder? Die Werte sind aber richtig? Ist die Schreibweise so auch richtig?

16.02.2015, 00:16

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Nein, ich frage mich woher die Intervallgrenze $\begin{eqnarray*} ln(\frac{-a}{2}) \end{eqnarray*}$ kommt.

16.02.2015, 00:22

Tempi

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Das ist die Polstelle von $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$

16.02.2015, 00:27

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Und was ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{ln(-a)}{2} \end{eqnarray*}$ ?

16.02.2015, 00:50

Tempi

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Achso upps ich meine natürlich $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$ ist streng monoton steigend für $\begin{eqnarray*} x= (-\infty, \frac{ln(-a)}{2} ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\frac{ln(-a)}{2}, \infty ) \end{eqnarray*}$

16.02.2015, 00:58

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Das Gleichheitszeichen ergibt hier keinen Sinn, x ist kein Intervall sondern ein element aus diesem intervall

16.02.2015, 01:05

Tempi

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Wie könnte man es dann formulieren? So?

$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) \end{eqnarray*}$ ist streng monoton steigend für $\begin{eqnarray*} x \in (-\infty, \frac{ln(-a)}{2} )\cup (\frac{ln(-a)}{2}, \infty ) \end{eqnarray*}$

Oder einfach für R\{ $\begin{eqnarray*} \frac{ln(-a)}{2} \end{eqnarray*}$ }

16.02.2015, 20:36

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Das würde ich jetzt so verstehen, dass $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ auf der ganzen Menge
$\begin{eqnarray*} (-\infty, \frac{ln(-a)}{2} )\cup (\frac{ln(-a)}{2}, \infty ) \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist.
Das ist aber falsch.
Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ ist auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I_1=(-\infty, \frac{ln(-a)}{2} ) \end{eqnarray*}$ und dem Intevall $\begin{eqnarray*} I_2=(\frac{ln(-a)}{2}, \infty ) \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend.

Das heißt z.B. für $\begin{eqnarray*} x,y\in I_1, x<y \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f_a(x)<f_a(y) \end{eqnarray*}$ .
Wo ist der Unterschied zu deiner Formulierung? Bei dir könnte man $\begin{eqnarray*} x,y\in I_1\cup I_2, x<y \end{eqnarray*}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray*} x\in I_1, y\in I_2 \end{eqnarray*}$ gilt. Dann gilt aber $\begin{eqnarray*} f_a(x) > 0 > f_a(y) \end{eqnarray*}$

17.02.2015, 22:14

Tempi

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Okay dann formuliere ich das in Zukunft auch lieber auf diese Art.
Vielen Dank für die Hilfe Freude

Freude

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