Menge von Polynomen = Unterraum

16.02.2015, 20:19

zutroy

Menge von Polynomen = Unterraum

Hallo,

ich komme mit einer Aufgabe zum Thema Unterräume einfach nicht weiter:

P3 sei die Menge aller reellen Polynome p vom Grad 3:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P_3 =\left\{ p:\mathbb R \rightarrow \mathbb R |p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3, a_0,a_1,a_2,a_3\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Frage:

Ist $\begin{eqnarray*} M:=\left(p\in \mathbb P_3 | a_0-a_1+a_2-a_3=0 \right) \end{eqnarray*}$

ein Unterraum von P3?

Bei dieser Frage das Problem, das ich nicht weiß, ob ich jetzt auch die Koeffizienten a0, a1, ... variieren darf, so wie es mir passt, oder ob es nur das "x" ist?

Z.B. bei der Prüfung, ob die Menge nicht leer bzw. das Nullelement enthalten ist:

Kann ich jetzt hier alle Koeffizienten = 0 setzen, oder muss ich x gleich 0 setzten? Sofern ich x = 0 setze, würde ao (sofern >0) übrig bleiben und das Nullelement wäre nicht enthalten, wodurch P3 kein UR wäre. Jedoch weiß ich halt nicht, mit welchen Variablen ich hier für den Beweis arbeiten darf. Wenn ich zb mit nur mit a0, ... etc. arbeite, dann kann ich a0=4 setzen, a1=4 und a2 und a3=0. Die Bedingung ist dann ja erfüllt, jedoch ist das Nullelement wieder nicht enthalten.

Vielen Dank.

16.02.2015, 20:25

Captain Kirk

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Hallo,

es bezeichne $\begin{eqnarray*} f_a: \mathbb R [X] \to \mathbb R ,\quad p \mapsto p(a) \end{eqnarray*}$ den Einsetzhomomorphismus(!) so ist $\begin{eqnarray*} M=Ker f_{-1} \end{eqnarray*}$

16.02.2015, 20:36

zutroy

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Vielen Dank für die Antwort, leider verstehe ich von den Ausdrücken nicht sehr viel.

16.02.2015, 20:41

Captain Kirk

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Zitat:

Original von zutroy
leider verstehe ich von den Ausdrücken nicht sehr viel.

Das ist schade.

16.02.2015, 20:46

zutroy