Argument/Winkel von komplexer Zahl berechnen

16.02.2015, 20:43

fdre

Argument/Winkel von komplexer Zahl berechnen

Wieso hat der Winkel von -1-i ein negatives Vorzeichen ? Ich komme andauernd auf +3pi/4 obwohl das vorzeichen positiv sein soll ?

16.02.2015, 20:50

Iorek

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Ohne deine Rechnung zu kennen, kann man da nicht viel zu sagen. Eine Vermutung: bist du von $\begin{eqnarray*} -1+i \end{eqnarray*}$ ausgegangen? Da würde das Argument passen.

16.02.2015, 20:54

fdre

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Stimmt, da war ich etwas falsch. Wenn ich das jetzt in eine Gaußebene einzeichne bei -1-i, dan ist das ja einfach pi/4 * 5 oder ? Und im Skript steht wenn sich der Zeiger im 3. Quadranten befindet muss man noch pi dazu addienren, jetzt komme ich sogar auf9pi/4 .. nochfalscher..

16.02.2015, 20:57

fdre

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Also das Ergebnis soll -3pi/4 sein und ich komme andauernd auf pi/4 * 5, wobei im Skritpt steht, das wenn der Zeiger im 3 Quadranten ist man +pi dazurechnen soll. Jetzt weicht das Ergebnis von der Musterlöung noch mehr ab.

16.02.2015, 21:02

Iorek

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Wie kommst du denn an die $\begin{eqnarray*} \frac {5\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Versuch es mal systematisch zu berechnen: gesucht ist ein $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -1-i=re^{i\varphi}=\sqrt{2}e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ lässt sich das umformen zu $\begin{eqnarray*} -1-i=\sqrt{2}(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$ . Nun kann man mit einem Koeffizientenvergleich das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ berechnen.

16.02.2015, 21:06

fdre

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Kann man das ohne GTR echt nur so komplex berechnen? Finde ich ja ehrlich gesagt noch komplexer als davor...

16.02.2015, 21:10

Iorek

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Es geht natürlich anders bzw. mit der Zeit kennt man diesen Winkel einfach. Und wirklich kompliziert ist dieser Weg auch nicht. Und da du bisher immer noch nicht deinen bisherigen Rechenweg vorgelegt hast, kann man auch dazu noch keine Angaben machen.

Nachtrag: falls dir ein TR zur Verfügung steht, geht es natürlich direkt per Formel.

16.02.2015, 21:15

fdre

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Kannst du bitte einen Einheitskreis verlinken der alle relevanten Winkel, wie ich sie brauche da hat? Letztendlich zeichnet man sich ja in die Gaußebene seinen Punkt und liest den Winkel ab als Zeiger.

Wie ich darauf gekommen bin: der zeiger rotiert ab -i dort hat er als bogenmaß 0. Jede 45° dazurotation nimmt der bogenmaß um pi/4 zu. Und wenn man nun -1-i in die Gaußebene einezichnet sieht man das der rotierende Zeiger ab 0 genau 5mal 45grad zunimmt, also 5*pi/4. Und das ist denke ich auch richtig, wenn man den Einheitskreis betrachtet.

Hier ist irgendetwas anders...

16.02.2015, 21:16

fdre

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Ich meine der zeiger rotiert ab +1 !

16.02.2015, 21:21

Iorek

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Zitat:

Original von fdre
Kannst du bitte einen Einheitskreis verlinken der alle relevanten Winkel, wie ich sie brauche da hat?

Da ich weder eine Übersicht über alle für dich relevanten Winkel noch generell eine solche Übersicht habe, kann ich das nicht machen.

Dann: ich habe oben ein Minuszeichen gelesen wo keins ist, das Argument $\begin{eqnarray*} \frac{5\pi}4 \end{eqnarray*}$ ist richtig. Jetzt kommt es allerdings noch darauf an, aus welchem Intervall ihr das Argument haben wollt, von deinen bisherigen Ausführungen nehme ich mal $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ an. Dann muss dieser Winkel noch entsprechend umgerechnet werden; der $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -Periodizität von Sinus und Cosinus seit Dank geht das aber durch Abziehen von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ was dann auch auf das gewünschte Ergebnis führt.

16.02.2015, 21:28

fdre

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Danke sehr! Eine Frage: Wenn der Winkel nicht im Interval [-pi,pi] ist reicht es einfach also meinen berechneten Winkel -2pi zu nehmen ? Also es ist vollkommen irrelevant welchen Wert mein Winkel hat, wenn er nicht € [-pi,pi] ist -> Winkel - 2pi und fertig, schon habe ich mein gesuchtes Argument ..

16.02.2015, 22:43

fdre

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Mich würde auch interessieren ob das argument von 1 2pi oder 0 ist, ich denke persönlich 0 ..

16.02.2015, 23:29

Iorek

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Das hängt ganz davon ab, wie ihr das Argument definiert habt. Üblich sind etwa $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (0,2\pi] \end{eqnarray*}$ , wobei man sich auch noch über die Position von runder und eckiger Klammer streiten kann. Aber auch andere Intervalle der Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ wären denkbar. Und ja, aufgrund der Periodizität von Sinus und Cosinus (bzw. auch anschaulich: nach einer 360° Drehung ist man wieder vorne angekommen), kann man das Argument damit runterrechnen.

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