Cauchyintegralformel benutzen |
| 16.02.2015, 23:23 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Cauchyintegralformel benutzen Mir geht es halt darum, dass beide Polstellen von f(z) im Integrationsgebiet liegen, demnach müssten doch beide relevant sein und hier wird nur die in der oberen Ebene benutzt. Wieso ist das so ? |
||||
| 16.02.2015, 23:37 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wird evtl. die verallgemeinerte Cauchyintegralformel für Zyklen verwendet (und ein passend dazu homologer Zyklus konstruiert)? |
||||
| 16.02.2015, 23:43 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir hatten leider nichts mit Zyklen, hier steht aber als Bemerkung 2 Umläufe und da ich neugierig war habe ich mal den Zusammenhang com Cauchyintegral mit dem von dir genannten angesehen und da scheint definitiv die umlaufzahl wichtig zu sein. Aber nichtsdestotrotzt wird hier nichts mit 2 multipliziert oder so. Es wird einfach die Cauchyintegralformel benutzt wie ich es oben genannt hatte.... |
||||
| 16.02.2015, 23:45 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir das mit den Zyklen kurz erklären wie man auf die 2 kommt und dementsprechend der eine Pol nur wichtig ist... |
||||
| 16.02.2015, 23:53 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kurz den Begriff des homologen Zyklus bzw. allgemein des Zyklus erklären würde hier den Rahmen sprengen; in der Regel verwendet man dafür sowie für die verallgemeinerte Cauchyintegralformel eine ganze Vorlesung. Alternativ könnte man noch schwerere Geschütze auffahren und direkt den Residuensatz anwenden. Da würde man nichts über homologe Zyklen wissen müssen. Die normale Cauchyintegralformel würde hier eben wegen der zweiten Definitionslücke Probleme bereiten. Wird in der Musterlösung denn noch etwas genaueres dazu gesagt? Eventuell eine Polynomdivision mit anschließender Partialbruchzerlegung? |
||||
| 17.02.2015, 00:01 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mich jetzt kurz da reingelesen und denke das ich das Verständnis nicht soo tief besitzen muss, da wir den Residuensatz auch vereinfacht haben mit Umlaufzahl 1. Kann man allgemein sagen, dass wenn 2 Polstellen vorhanden sind im innern eines Kreises mit Radius r und Mittelpunkt 0, das immer der in der oberen Halbebene nur relevant ist? Und ja, alternativ könnte man das glaube ich über PBZ machen, wobei man dann auf jeden einzelnen Summanden der PBZ die CIF anwendet oder? |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 17.02.2015, 00:04 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, wieso sollte das auch so sein? Wenn ihr den Residuensatz behandelt habt, ist der hier wohl das Mittel der Wahl. Wenn ansonsten keine weiteren Voraussetzungen in der Aufgabe angegeben sind, dann kann die Integralformel in ihrer Grundform zunächst nicht angewendet werden. |
||||
| 17.02.2015, 00:04 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch eine Frage: Wenn ich den residuensatz hier anwenden würde, dann müsste ich ja die Residuen in den beiden Singularitäten bestimmen oder? Wäre die Umlaufzahl hier 1 oder 2 ? Bei unseren Aufgaben beim residuensatz hatten wir immer mit der Umlaufzahl 1 gerechnet ... |
||||
| 17.02.2015, 00:07 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hätte mir einen Accountmachen sollen /: So ich bind er meinung das alle Singularitäten/Polen beim residuensatz bzgl. einer Kreisscheibe relevant sind, die in der Kreisscheibe sich befinden. So richtig ? Mehr brauche ich nicht wissen.. |
||||
| 17.02.2015, 00:12 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und die Umlaufzahl eines Kreises ist immer 1, wobei in math. positiven sinn durchlaufen wird.^^ |
||||
| 17.02.2015, 00:23 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, bei einem Kreis der einmal durchlaufen wird ist die Umlaufzahl immer 1. Und es müssen innerhalb der Kreisscheibe betrachtet werden. |
||||
| 17.02.2015, 00:27 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, kannst du sagen ob man am besten so verfahre sollte bei einem Kreis: 1. Ich schaue ob Polstellen in der Kreisscheibe sind, wenn nicht -> Nach Cauchyintegralsatz ist das Ergebnis Null. 2. Befindet sich eine Polstelle der Ordnung 1 in der Kreisscheibe und eine nicht, dann verwende ich die Cauchyintegralformel. 3. Befindet sich eine Polstelle nicht in der Kreisscheibe und eine Polstelle der Ordnung m in der Kreisscheibe, wobei m größer als 1, dann kann ich die Allgemeine Cauchyintegralformel benutzen 4. Trifft alles nicht zu bin ich gezwungen den Residuensatz zu verwenden mit Umlaufzahl 1 und den inneren Polen. |
||||
| 17.02.2015, 01:18 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zunächst einmal gilt das natürlich nur unter der Voraussetzung, dass die Funktion auf den notwendigen Mengen/Gebieten holomorph ist. Und dann kann man natürlich auch in den anderen Fällen den Residuensatz nutzen, da er quasi eine Verallgemeinerung der Cauchyintegralformel darstellt. Aber generell könnte man so verfahren, ja. |
||||
| 17.02.2015, 01:24 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab jetzt kurz aktuallisiert undzufälligerweise hast du geantwortet, soll nicht aufdinglich rüberkommen.^^ Danke schön! Kannst du mir bitte nur noch ales letztes sagen wieso sin(z)/((z^2(z+pi)) auf der Kreisscheibe mit Mittelpunkt 0 und Radius 3 nach dem Cauchyintegralsatz 0 ergibt ? Er besitzt ja ein Pol in der Kreisscheibe, nämlich den Doppelpol 0 ..... Ich weiss das man das sehen kann das direkt 0 herrauskommt über den Residuensatz und wegen der Polstelle 0 halt, aber ich verstehe nicht wie hier mit dem CIS argumentiert wird.. |
||||
| 17.02.2015, 01:36 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum ergibt das denn 0? Wer sagt so etwas? 
|
||||
| 17.02.2015, 01:41 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir leid, die Funktion war falsch genannt. Sie lautet sin(z^2)/((z^2(z+pi)) auf der Kreisscheibe mit Mittelpunkt 0 und Radius 3. Da steht noch ales Kommentar, dass für alle z € Integrationsgebiet z+pi ungleich Null ist -> CIS folt das Ergebnis ist Null... |
||||
| 17.02.2015, 01:47 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das liegt daran, dass die Funktion in holomorph ergänzbar ist, deshalb kann man hier den Cauchyintegralsatz anwenden. Man kann es aber natürlich auch über die Cauchyintegralformel ausrechnen |
||||
| 17.02.2015, 01:49 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke sehr, dann kann man wohl beruhigt schlafen gehen! Ich hätte persönlich die Allgemeine Cauchyintegralformel benutzt, da ja immerhin ein Pol mit Ordnung 2 drinne ist. Ergebnis ist 0. So ist das nun denke ich auch akzeptabel und somit richtig.... nochmals danke! |
||||
| 17.02.2015, 15:26 | herbertberlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moin, mal eine letzte Frage. Wenn ein Pol exakt auf der kurve der Kreisscheibe liegt, dann ist der nicht mehr Relevant für den Residuensatz oder? Also sein Residuum fällt weg .. |
||||
| 17.02.2015, 21:26 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn der Pol exakt auf der Kurve liegt, dann ist das sogar höchstrelevant. In diesem Fall ist das Integral nämlich zunächst mal nicht wohldefiniert. |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
