Konvergenzbeweis einer Funktion mit variabler Potenz und Bruch

17.02.2015, 00:34

CptClipper1

Konvergenzbeweis einer Funktion mit variabler Potenz und Bruch

Meine Frage:
Moin moin,

Ich habe gerade eine Übungsaufgabe bei der mir leider der Ansatz fehlt.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{2^{k}\cdot \left(k+2\right) }{7^{k-1} } \end{eqnarray*}$

Aufgabe ist dieser Reihe Konvergenz nach zuweisen.

Meine Ideen:
Ich habe leider noch keine Lösungen, sondern viel mehr interessiert mich die Methode mit der ich das Problem angehe.

ist hier das Quotientenkriterium eine geeignete Methode?

17.02.2015, 08:02

bijektion

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Zitat:

ist hier das Quotientenkriterium eine geeignete Methode?

Das sollte klappen, du könntest dir aber auch Überlegen, dass $\begin{eqnarray*} k+1\leq 3^k \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt.

17.02.2015, 15:13

CptClipper

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Ich habe gestern vergessen mich anzumelden. Bin der selbe Nutzer.

Ich habe das Quotientenkriterium angewendet:
Damit komme ich erstmal zu dem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{k}\cdot \left(k+2\right)\cdot 7^{k} }{7^{k-1}\cdot 2^{k+1}\cdot \left(k+3\right) } \end{eqnarray*}$

Nach entsprechenden kürzungen bleibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{7k+14}{2k+6} \end{eqnarray*}$

Wenn ich durch k teile, steht dort, da 14/k und 6/k gegen 0 streben (für $\begin{eqnarray*} k\Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

Und somit diviergiert diese Folge.

Ist das so richtig?

17.02.2015, 15:40

Matt Eagle

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Nein, Du wendest das Kriterium nicht korrekt an und folgerst dann dementsprechend falsch.

Beim Quotientenkrit. ist doch der Quotient

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

zu betrachten...

Weil die eigentliche Rechnung aber stimmt, sollte das Ganze schnell zu begradigen sein.

17.02.2015, 16:34

CptClipper

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Oh man, natürlich...

Gewissermaßen kommt ja das selbe heraus, nur umgekehrt...

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{7} \end{eqnarray*}$

Da der Wert nicht $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet dies dass die Reihe konvergiert.

Vielen Dank euch beiden!

17.02.2015, 17:57

CptClipper

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Zitat:

Das sollte klappen, du könntest dir aber auch Überlegen, dass $\begin{eqnarray*} k+1\leq 3^k \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt.

Habe ich vergessen: Ich habe nicht verstanden, was du mit der Aussage meinst, in welcher Beziehung hätte mir das weiter geholfen?

Danke nochmals!

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