Vollständige Induktion bei Ungleichungen

17.02.2015, 14:27

krosh

Vollständige Induktion bei Ungleichungen

Hey, ich habe die Tage eine Klausur und befasse mich gerade mit vollständiger Induktion.
Bei Ungleichungen stoße ich leider auf meine Grenzen und würde mich freuen wenn mir jemand die Vorgehensweise erläutern könnte.

Ich habe folgende Aufgabe - hoffentlich erfolgreich - gelöst, und bei einer anderen scheitere ich komplett. unglücklich

Bei der Ersten wollte ich einnmal fragen, ob ich das wie folgt machen darf.
Bei der Zweiten ..... traurig

$\begin{eqnarray*} n^2-2n-1>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$
--------
$\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^2-2*3-1>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2>0 \end{eqnarray*}$ richtig
-------
$\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2-2(n+1)-1>0 \end{eqnarray*}$
Nun hab ich mir gedacht wenn:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2>2(n+1)-1 \end{eqnarray*}$
habe ich die Ungleichung gelöst
$\begin{eqnarray*} n^2+2n+1>n^2+2n+1-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^2+2n+1>n^2+2n \end{eqnarray*}$ q.e.d?
-------

Soweit zur ersten Aufgabe, hoffe diese ist Richtig.
Die 2. Aufgabe lautet:
für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\frac{5}{6}....\frac{2n-1}{2n}\geq \frac{1}{1+n} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ richtig
------
$\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\frac{5}{6}....\frac{2n-1}{2n}*\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} \geq \frac{1}{1+n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\frac{5}{6}....\frac{2n-1}{2n}* (1-\frac{1}{2(n+1)}) \geq \frac{1}{1+n} \end{eqnarray*}$
Nun habe ich leider keine Idee wie ich weitermachen soll, und beim vergleichen mit der Lösung, habe ich gesehen das die einen ganz anderen Weg eingeschlagen haben.

Würde mich über Unterstützung freuen.
lg

17.02.2015, 14:34

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion bei Ungleichungen

Zitat:

Original von krosh
Nun hab ich mir gedacht wenn:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2>2(n+1)-1 \end{eqnarray*}$
habe ich die Ungleichung gelöst

Du müßtest aber die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (n+1)^2>2(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ zeigen. smile

Zitat:

Original von krosh
$\begin{eqnarray*} n \Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\frac{5}{6}....\frac{2n-1}{2n}*\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} \geq \frac{1}{1+n} \end{eqnarray*}$

Im Induktionsschritt ist aber diese Ungleichung zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\frac{5}{6}....\frac{2n-1}{2n}*\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} \geq \frac{1}{2+n} \end{eqnarray*}$

17.02.2015, 14:52

krosh

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Hey und danke erstmal für das Feedback.
Ja du hast Recht, ich hab ein Fehler gemacht und dachte $\begin{eqnarray*} 2(n+1) = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ . Shame on me!
Wenn ich jetzt weiter rechne bekomme ich am Ende folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} n^2>2 \end{eqnarray*}$ und das gilt für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ immer.

Bei der 2. Aufgabe auch wieder ein total dummer Fehler.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(n+1)} \end{eqnarray*}$ steht auf der rechten Seite des $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ .
Mein Problem ist nur, das ich nicht weis wie ich mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$
umgehen soll.

17.02.2015, 15:09

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion bei Ungleichungen
Wenn wir uns mal die linke Seite der zu zeigenden Ungleichung ansehen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\frac{1}{2}*\frac{3}{4}*\frac{5}{6}....\frac{2n-1}{2n}}_{I.V.} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

dann kannst du auf die ersten n Faktoren die Induktionsvoraussetzung anwenden. Dadurch wird der obige Ausdruck kleiner.

17.02.2015, 15:20

krosh

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Ok, das hilft mir!
Ich muss jetzt leider kurz zu einem Termin, werde aber in ~2 Stunden mein Ergebnis nochmal durchgeben!
Danke und bis später

17.02.2015, 20:22

krosh

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Danke nochmal, habe jetzt das Ergebnis der Lösung rausbekommen. Wollte das nur eben durchgeben

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