Gradient und Hessesche Matrix einer Funktion in Vektorform

17.02.2015, 16:51	Tommos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient und Hessesche Matrix einer Funktion in Vektorform Meine Frage: Hallo liebes Forum, folgende Aufgabe: Ich habe folgende Funktion: f(x,y)=(y^2e^x + ycos(x), yx^2e^yx^2) Nun weiß ich wie ich vorgehen muss, wenn ich etwas habe wie: f(x,y)=x²y+3x, heißt ich habe einen Ausdruck mit x und y. Meine Frage ist nun, wie genau die partiellen Ableitungen der obigen Funktion aussehen (sind es 2 nach x und zwei nach y?) und letztendlich die Form der Hesseschen Matrix. Viele Grüße, Tom Meine Ideen: Mein erster Gedanke war die beiden Ausdrücke einfach getrennt zu betrachten, sodass ich dann zwei Hessesche Matrizen hätte, aber die Aufgabe spricht von "der" Hesseschen Matrix, deswegen weiß ich da nicht weiter.
17.02.2015, 17:51	Tommos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient und Hessesche Matrix einer Funktion in Vektorform Hier nochmal in schön und wie es im Original aussieht: f $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=~\begin{pmatrix} y^{2} \cdot e^{x} + y \cdot ~\cos(x) \\ y \cdot x^{2} \cdot e^{yx^{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Grüße, Tom
17.02.2015, 18:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient und Hessesche Matrix einer Funktion in Vektorform Ich kenne Gradient und Hessematrix nur für reellwertige Funktionen. Kann es sein, dass in der Aufgabe(?) von der Jacobimatrix die Rede ist?
17.02.2015, 18:35	Tommos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient und Hessesche Matrix einer Funktion in Vektorform Das mit der Jakobi-Matrix habe ich ach schon in Wikipedia gelesen, aber in der Aufgabe steht klar Hessian Matrix. Ich habe mir die Funktion auch bei Wolfram ausgeben lassen, was ganz gut aussieht, aber wirklich interpretieren kann ich den Ausdruck nicht :/ Originalaufgabe ist: Compute the gradiant and the Hessian matrix (second partial derivatives) of:
17.02.2015, 18:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient und Hessesche Matrix einer Funktion in Vektorform Dann kann ich mir nur vorstellen, dass man es für die beiden Komponenten von f getrennt machen soll - so wie du das auch vorgeschlagen hast. Sonst muss ich passen. Vielleicht erleuchtet uns jemand
17.02.2015, 22:06	Tommos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient und Hessesche Matrix einer Funktion in Vektorform Wenn ich mir die Definition der Hesse-Matrix anguck, kann man dier hier nicht wirklich bilden, da steht: für $\begin{eqnarray} f: D \subset R^{n} -> R \end{eqnarray}$ ist die Hesse Matrix definiert. Was wir hier haben ist aber ein $\begin{eqnarray} R^{2} -> R^{2} \end{eqnarray}$ -Abbild, wenn ich das richtig sehe.(?) In der englischen Wiki gabs denke ich die Lösung dazu: If f is instead a vector field $\begin{eqnarray} f :R^{n} -> R^{m} \end{eqnarray}$ then $\begin{eqnarray} f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x),...f_{m}(x)) \end{eqnarray}$ then the collection of second partial derivatives is not a n×n matrix, but rather a third order tensor. This can be thought of as an array of m Hessian matrices, one for each component of f: $\begin{eqnarray} H(f) = (H(f_{1}), H(f_{2}), ... H(f_{m})) \end{eqnarray}$ This tensor promptly degenerates to the usual Hessian matrix when m = 1. Also wie es aussieht muss man für beide Ausdrücke die Hesse-Matrix berechnen, die dann einen Tensor dritter Ordnung (bzw. ein Array) bilden, mit in diesem Fall zwei (2*2)-Matrizen als Inhalt. Naja so hätte ich es am Ende auch gemacht, eh man gar nichts hin schreibt :P Trotzdem Danke für die Hilfe.
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