2-dimensionale Dichte - Erwartungswert

17.02.2015, 16:53

Mathelover

2-dimensionale Dichte - Erwartungswert

Hallo zusammen,

ich habe einige Fragen zu folgender Aufgabe: Mir gehts hauptsächlich nur um die Intervallgrenzen.

Es sei $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ ein Zufallsvektor mit Werten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und Dichte

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = \left\{\begin{matrix} 2, &\text{ falls }x,y>0 \text{ und } x+y <1\\ 0 &\text{ andernfalls } \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(XY) \end{eqnarray*}$ .

Lösung:

Es gilt für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_X(x,y) = \int _\mathbb{R} f_{X,Y}(x,y)dy = \int_{0}^{1-x} 2y = 2-2x \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} x \notin (0,1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_X(x)=0 \end{eqnarray*}$
Das ist soweit klar, wenn ich die Randdichte untersuche, dann muss ich die gemeinsame Dichte nach der anderen Variablen integrieren.

Es folgt

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int _\mathbb{R}x\cdot f_X(x)dx = \int_{0}^{1} 2x-2x^2dx=[x^2-\frac{2}{3}x^3]_{x=0}^{1}= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Frage 1: Wie kommt man jetzt zu diesen Integralgrenzen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Ich hätte wie bei der Randdichte auch gesagt: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1-y} \end{eqnarray*}$
Ich verstehe das nicht.

$\begin{eqnarray*} E(XY) = \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}x\cdot y\cdot f_{X,Y}(x,y)dxdy =\int_{0}^{1}y\left ( \int_{0}^{1-y}2xdx \right )dy \end{eqnarray*}$

Frage 2: Hier genauso, wieso werden bei dem ersten Integral die Grenzen auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und beim zweiten Integral auf $\begin{eqnarray*} (0,1-y) \end{eqnarray*}$ gesetzt?
Ich hätte gesagt $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-y} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} =\int_{0}^{1}y(1-y)^2dy = \left [ \frac{1}{4}y^4-\frac{2}{3}y^3 +\frac{1}{2}y^2\right ]_{y=0}^{1} = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ihr könnt mir bei meinen Fragen helfen.

17.02.2015, 17:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
Es gilt für $\begin{eqnarray*} {\color{red}x \in (0,1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_X(x,y) = \int _\mathbb{R} f_{X,Y}(x,y)dy = \int_{0}^{1-x} 2y = 2-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1-x} 2y \end{eqnarray*}$ ist hoffentlich nur ein Schreibfehler - dort muss natürlich $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1-x} 2 ~ \dd y \end{eqnarray*}$ stehen.

Das rot markierte zeigt, für welche Argumente x diese Randdichteformel gilt - außerhalb dieses Intervalls ist diese Randdichte gleich Null. Damit dürfte geklärt sein, warum das das Integrationsintervall für den Erwartungswert sein muss.

Dein Vorschlag $\begin{eqnarray*} \int_0^{1-y} \end{eqnarray*}$ ist kompletter Unfug: Was soll denn hier $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sein? Es gibt hier kein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , was irgendeinen Sinn machen würde. unglücklich

Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{eqnarray*} E(XY) = \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}x\cdot y\cdot f_{X,Y}(x,y)dxdy =\int_{0}^{1}y\left ( \int_{0}^{1-y}2xdx \right )dy \end{eqnarray*}$

[COLOR=red]Frage 2: Hier genauso, wieso werden bei dem ersten Integral die Grenzen auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und beim zweiten Integral auf $\begin{eqnarray*} (0,1-y) \end{eqnarray*}$ gesetzt?

Weil das das Integrationsgebiet $\begin{eqnarray*} x>0,y>0,x+y<1 \end{eqnarray*}$ beschreibt, wenn man als erste, äußere Integration die über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wählt.

17.02.2015, 17:29

Mathelover

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Okay und wo lese ich aus der Aufgabe heraus, dass die Randdichteformel nur für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ gilt?

Ich weiß, dass mein Vorschlag keinen Sinn macht, weil wir den Erwartungswert untersuchen, aber trotzdem möchte ich wissen wie man dann auf $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in (0,1) \end{eqnarray*}$ kommt.

17.02.2015, 17:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
Okay und wo lese ich aus der Aufgabe heraus, dass die Randdichteformel nur für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ gilt?

Weil diese Rechnung, wie sie dort dasteht, nur für $\begin{eqnarray*} x\in (0,1) \end{eqnarray*}$ gilt. Herrje, denk doch mal selbst ein bisschen nach: Glaubst du im Ernst, dass das auch z.B. für x=2 gilt und dann am Ende ein Randdichtewert von 2-2x = -2 herauskommen kann??? geschockt

Sieh dir die Skizze an: Die Dichte ist nur auf dem da eingezeichneten Dreieck ungleich Null. Für die X-Randdichte schneidet man das Gebiet mit Parallelen zur y-Achse und integriert dann die gemeinsame Dichte über das Schnittintervall. Außerhalb von [0,1] ist dieses Schnittintervall leer.

17.02.2015, 17:41

Mathelover

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Okay mit der Skizze hab ich das verstanden. Freude

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