Konvergenz von Reihe mit Bruch und negativem Exponenten

17.02.2015, 17:51

CptClipper

Konvergenz von Reihe mit Bruch und negativem Exponenten

Moin moin,

ich habe gestern eine Frage gestellt und mir wurde super weiter geholfen. Ich habe nun eine weitere mit ähnlichem Thema.

Und zwar sit die Aufgabe die Folgende Reihe auf konvergenz zu prüfen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } 2^{k}\cdot \left(\frac{k}{k+3} \right)^{-k} \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung habe ich mir gedacht, kann ich ja $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ außen vor lassen und bracuhe nur Konvergenz für den Rest der Funktion nachweisen.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{k}{k+3}\right)^{-k} = \left(\frac{k+3}{k}\right)^{k}= \left(1+\frac{3}{k} \right)^{k} = e^{3} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich ein bisschen das Problem damit, dass egal wie hoch k wäre, das Ergebnis dieses Teils $\begin{eqnarray*} e^{3} \end{eqnarray*}$ bleiben würde. Durch Einsetzen weicht der Wert aber etwas ab....

Ist der Beweis dennoch hinreichend?

Vielen Dank im Voraus!

17.02.2015, 18:11

10001000Nick1

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RE: Konvergenz von Reihe mit Bruch und negativem Exponenten

Zitat:

Original von CptClipper
Für die Berechnung habe ich mir gedacht, kann ich ja $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ außen vor lassen und bracuhe nur Konvergenz für den Rest der Funktion nachweisen.

Wieso das? Und wo steht hier eine Funktion?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\left(\frac{k}{k+3}\right)^{-k}=e^3 \end{eqnarray*}$ ist richtig; wobei die Schreibweise

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{k} \right)^{k} = e^{3} \end{eqnarray*}$

Unsinn ist.

Wenn du dich jetzt noch an ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe erinnerst, bist du fertig.

17.02.2015, 19:03

CptClipper

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Also wieso ich den Teil weggelassen habe: wenn $\begin{eqnarray*} \left(\frac{k}{k+3} \right)^{-k} \end{eqnarray*}$ divergiert muss ja die ganze Reiher inklusive $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ genauso divergieren... Natürlich keine Funktion, sondern Reihe... Liege ich damit falsch? Dann wäre meine ganze Aufgabe ja falsch gelöst. In dem Fall würde ich um einen Denkanstoß bitten die Aufgabe neu aufzurollen!

Zum 2. Teil:

Ist es Unsinn oder falsch? Denn ich wüsste nicht welches Kriterium ich in dem Fall mit einem negativen Exponenten anwenden könnte... Dafür fehlt mir, zumidnest momentan noch, das Verständnis.

Sollte die Schreibweise allerdings richtig sein wäre die Aufgabe mit dem Wurzelkrieterium ja leicht zu lösen. Vielleicht ein wenig mehr Arbeit aber es zählt ja in der Mathematik das Ergebnis am Ende.

Vielen Dank für deine Mühe!

17.02.2015, 19:11

10001000Nick1

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Zitat:

Original von CptClipper
Also wieso ich den Teil weggelassen habe: wenn $\begin{eqnarray*} \left(\frac{k}{k+3} \right)^{-k} \end{eqnarray*}$ divergiert muss ja die ganze Reiher inklusive $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ genauso divergieren

Das stimmt hier zwar, wäre aber noch zu begründen. Außerdem bringt dir das hier überhaupt nichts, weil ja $\begin{eqnarray*} \left(\frac{k}{k+3} \right)^{-k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Zitat:

Original von CptClipper
Zum 2. Teil:

Ist es Unsinn oder falsch?

Du hast geschrieben: $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{k} \right)^{k} = e^{3} \end{eqnarray*}$ . Es gilt aber keine Gleichheit. Besser wäre: $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{k} \right)^{k} \stackrel{k\to\infty}{\longrightarrow} e^{3} \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt: Kennst du ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe?

17.02.2015, 19:16

HAL 9000

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Nebenkriegsschauplätze sind ja schön und gut, aber...
Ich will mal nur kurz folgendes einwerfen:

Nutzt man bei dieser Reihe sofort das Wurzelkriterium, dann ist das mit dem e-Grenzwert eigentlich unerheblich. Augenzwinkern

Bin wieder weg. Wink

17.02.2015, 19:29

CptClipper

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Okay, ich sehe welchen Fehler ich gemacht habe.

Da ich aber trotzdem weiß, dass dieser Ausdruck gegen $\begin{eqnarray*} e^{3} \end{eqnarray*}$ strebt und ich außerdem weiß, dass $\begin{eqnarray*} e^{3}\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist, reicht mir das ja für diesen Teil.

Und da $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ divergiert folgt daraus, dass meine Reihe divergiert.

Ein entsprechendes Kriterium will sich mir nicht öffnen... Ich kenne das Majoranten-/Minoranten-Kriterium, Wurzelkriterium und Quotientenkriterium. ich weiß von einem Chauchy-Kriterium, aber das habe ich bisher nicht benutzt und irgendwie will ich es auch nicht verstehen.

Keines der 4 führt scheint mir aber plausiebel. Und jetzt wo ich ein wenig weiter gekommen bin, bin ich mir aber auch nicht sicher ob ich $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ eine divergenz nachweisen muss.... das ist doch offensichtlich oder nicht?
Würde es einem Dozenten tatsächlich nicht genügen das ich dies weiß?
Wir gehen ja auch für das Majorantenkriterium davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ eine konvergierende Reihe ist...

17.02.2015, 19:36

10001000Nick1

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Ich meinte folgendes Kriterium: Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge.

Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{k}{k+3} \right)^{-k} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} e^3 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Und weil $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ bestimmt divergiert, divergiert auch das Produkt $\begin{eqnarray*} 2^k\cdot \left(\frac{k}{k+3} \right)^{-k} \end{eqnarray*}$ bestimmt (ist also keine Nullfolge).

Natürlich kann man auch (wie von HAL 9000 vorgeschlagen), direkt das Wurzelkriterium anwenden, und wäre damit vermutlich schneller fertig.

Zitat:

Original von CptClipper
Wir gehen ja auch für das Majorantenkriterium davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ eine konvergierende Reihe ist...

Du meinst $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ? Die Konvergenz dieser Reihe beweist man z.B. mit dem Verdichtungskriterium von Cauchy.

17.02.2015, 19:45

CptClipper

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Nehmen wir den Nebenkriegsschauplatz mal weg
Okay, mir ist wieder ein Licht aufgegangen. Probieren wir das einmal.

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } k \sqrt[k]{2^{k}\cdot \left(\frac{k}{k+3}\right)^{-k}}=2\cdot \frac{k+3}{k}= \frac{2k+6}{k}= \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

Natürlich gehe ich weiter davon aus das k $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ strebt.

Im letzten Schritt teile ich also durch k, damit fällt die 6/k weg, da der Wert irrelevant wird.

Damit ist 2 größer 1, also divergent.

EDIT: vorher stand hier 1/2 und ich habe mich gewudnert wieso ich damit den Beweis für eine konvergente Reihe hätte.... Schon Spät Augenzwinkern

VIELEN DANK EUCH!!!! Habt mir ein weiteres mal sehr geholfen!

17.02.2015, 19:55

10001000Nick1

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RE: Nehmen wir den Nebenkriegsschauplatz mal weg

Zitat:

Original von CptClipper
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } k \sqrt[k]{2^{k}\cdot \left(\frac{k}{k+3}\right)^{-k}}=2\cdot \frac{k+3}{k}= \frac{2k+6}{k}= \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

Wenn du nach den ersten beiden Gleichheitszeichen noch $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \end{eqnarray*}$ ergänzt, stimmt das.

Zitat:

Original von CptClipper
Es kann sein, dass ich das Kriterium hier falsch angewendet habe. Ich habe die Wurzel ja nun so gezogen als könnte ich die beiden Terme unter der Wurzel seperat behandeln.

Für positive Zahlen $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ gilt doch $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{a\cdot b}=\sqrt[k]{a}\cdot \sqrt[k]{b} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von CptClipper
EDIT: sollte doch eigentlich richtig sein, wenn ihr mir aber gerade bestätigt habt dass es eine divergente Reihe ist, dann ist doch irgendwo ein Fehler in meiner Rechnung hier...

Guck dir nochmal an, was das Wurzelkriterium aussagt; eigentlich hast du oben alles (korrekt) stehen, was man braucht.

Edit: Schön, dass du es doch noch selbst rausgekriegt hast. smile

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