Frage zur Bogenlänge inklusive Integration

17.02.2015, 19:12

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Frage zur Bogenlänge inklusive Integration

Meine Frage:
Wieder sitze ich verwirrt vor einer Übungsaufgabe, aber komme nicht weiter. unglücklich

unglücklich

Dieses Mal handelt es sich um die Bogenlänge, die mir Schwierigkeiten macht.
Die Aufgabe lautet wie folgt: Zu bestimmen ist die Länge der Parabel $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ in [0;1].

Meine Ideen:
Ich bilde also die erste Ableitung $\begin{eqnarray*} y'=2x \end{eqnarray*}$ mit t=y', t=2x, dt= 2dx.
Und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \sqrt{1+4x^2} \, dx = \int_{2*0=0}^{2*1=2} \! \sqrt{1+t^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Und von dort an wird es bereits drastisch. Hammer

Hammer

Denn laut Lösung folgt, heißt es:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{0}^{2} \! \sqrt{1+t^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Mit folgender Integration
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^2} [t \sqrt{1+t^2}+arcsinh(t)] \end{eqnarray*}$

Mag mich jemand mal wieder aus meiner vollkommenen Verwirrung erretten? Woher kommen die 0.5 beim zweiten Schritt? Und ich dachte, ich könnte, ich kennt mithilfe der Substitution integrieren, allerdings kann ich das nicht... und ich weiß nicht, wie ich sonst integrieren soll.
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar! Gott

Gott

17.02.2015, 19:51

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Woher kommen die 0.5 beim zweiten Schritt?
Was setzt du denn für dx ein?

Das substituierte Integral kannst du mit der Beziehung $\begin{eqnarray*} cosh^2 - sinh^2 = 1 \end{eqnarray*}$ wieder substituieren.

Da dies nicht so einfach ist, hier der Anfang:

$\begin{eqnarray*} cosh^2(u) - sinh^2(u) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cosh^2(u) = 1 + sinh^2(u) \end{eqnarray*}$

Die Substitution für das Integral

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{0}^{2} \! \sqrt{1+t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

lautet: $\begin{eqnarray*} t = sinh(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dt = cosh(u) du \end{eqnarray*}$

Substituiere mal und poste dein Ergebnis. Es kommen noch ein paar Brocken.

17.02.2015, 20:55

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher die 0.5 kommen habe ich mich auch gefragt. unglücklich

unglücklich

Ich kann es mir auch nicht erklären.
Versucht zu integrieren habe ich folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{1+4x^2} \, dx = \int \! \sqrt{u} \, dx \rightarrow \frac{du}{dx} = 8x \rightarrow dx = \frac{du}{8x} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{u}*\frac{du}{8x}= \int \! \frac{\sqrt{1+4x^2}}{8x}\, dx \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

17.02.2015, 21:18

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mein Post nochmal editiert, sieh mal bitte nach.

Es ist dt = 2dx also setzt du für dx = dt/2 ein.

17.02.2015, 21:30

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bevor ich etwas falsch verstehe... was genau substituiere ich? $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! \sqrt{1+t^2} \, dx \end{eqnarray*}$ ?
Und was soll ich tun?
$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{1+t^2} \end{eqnarray*}$ setzen, um dann mit dx=dt/2 zu multiplizieren?? Hammer

Hammer

Entschuldige, aber das hier ist meine erste Aufgabe zur Bogenlänge. Und das t mitten im Bruch verwirrt mich nicht wenig. smile

smile

Edit wurde gelesen! smile

smile

17.02.2015, 21:41

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DrHWI
Also bevor ich etwas falsch verstehe... was genau substituiere ich? $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! \sqrt{1+t^2} \, dt \end{eqnarray*}$ ?
Und was soll ich tun?

Setze t=sinh(u) und dt=cosh(u) du. Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{u(0)}^{u(2)} \! \sqrt{1+sinh^2(u)} \cdot cosh(u) \, du \end{eqnarray*}$

Anzeige

17.02.2015, 22:05

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} z(x) = 1+ sinh^2(u), dz=\frac{du}{2sinh(u)*cosh(u)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{u(0)}^{u(2)} \! \sqrt{z}*cosh(u)*\frac{dz}{2sinh(u)*cosh(u)} =\int_{u(0)}^{u(2)} \! \frac{\sqrt{1+sinh(u)}}{2sinh(u)} \, du \end{eqnarray*}$

Ich glaube, das ist kaum richtig geworden? unglücklich

unglücklich

17.02.2015, 22:14

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch viel einfacher.

Wie oben schon geschrieben ist

$\begin{eqnarray*} 1 + sinh^2(u) = cosh^2(u) \end{eqnarray*}$

Das ersetzen wir jetzt in dem Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{u(0)}^{u(2)} \! \sqrt{1+sinh^2(u)} \cdot cosh(u) \, du = \int_{u(0)}^{u(2)} \! \sqrt{cosh^2(u)} \cdot cosh(u) \, du \end{eqnarray*}$

Wie geht es jetzt weiter?

P.S. Schau dir bitte nochmal an einem einfachen Beispiel die Substitutionsregel an.

17.02.2015, 22:18

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich hatte das verstanden, nahm aber an, du meintest, ich solle die Beziehung vom sinh und cosh später zur Anwendung bringen.
Ich versuche gleich noch einmal zu substituieren, aber kannst du mir verraten, wie du überhaupt auf den sinh und den cos gekommen bist? Irgendwoher musst du das Wissen doch gezogen haben, dass du mit diesen beiden trigonometrischen Funktionen arbeiten musst. Woher wusstest du das?

17.02.2015, 22:27

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind hyperbolische Funktionen.
Es ist viel Übung und Interesse an Integration mit Substitution, mit der Zeit sieht man dann wie man es machen könnte. Klappt nicht immer. Substitution ist ein schwieriges Thema, weil es keine allgemeingültigen Regeln gibt.

Wenn du mit der Aufgabe durch bist und es verstanden hast, bist du ein ganz schönes Stück weiter.
Wie schon gesagt, es kommen noch ein paar Brocken.

18.02.2015, 11:00

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen! Wink

Wink

Also wenn ich nun
$\begin{eqnarray*} \int_{u(0)}^{u(2)} \! \sqrt{1+sinh^2(u)}*cosh(u) \, du =\int_{u(0)}^{u(2)} \! \sqrt{cosh^2(u)}*cosh(u) \, du = \int_{u(0)}^{u(2)} cosh(u)*cosh(u) \, du = \int_{u(0)}^{u(2)} \! cosh^2(u) \, du \end{eqnarray*}$
Und nun kann ich partiell integrieren? smile

smile

18.02.2015, 11:08

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gut so. Was kommt heraus?

18.02.2015, 12:29

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mein Bestes gegeben...

$\begin{eqnarray*} u = cosh (x), u'=sinh(x)<br /> v=sinh(x), v'= cosh(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{u(0)}^{u(2)} \! cosh^2(x) \, du = cosh(u)*cosh(u)-\int_{u(0)}^{u(2)} \! sinh(u)*sinh(u) \, du =cosh^2(u) -\int_{u(0)}^{u(2)} \! sinh^2(x) du <br /> = cosh^2(u) -\int_{u(0)}^{u(2)}\! 1+ cosh^2(u) \, du = cosh^2(u) - \int_{u(0)}^{u(2)} \! \, dx + \int_{u(0)}^{u(2)} \! cosh^2(u) \, du <br /> = cosh^2(u)- x \int_{u(0)}^{u(2)} \! cosh^2(u) \, du = \frac{cosh^2(u)-x}{2} \end{eqnarray*}$

Edit: Ich merke schon, es kann nicht stimmen, da sich cosh^2(u) und cosh^2(u) aufheben würden... Forum Kloppe

Forum Kloppe

18.02.2015, 12:41

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Ansatz ist schon mal richtig, nur das Integral stimmt nicht.

$\begin{align*} \int \! u \cdot v' = u \cdot v - \int \! u' \cdot v \end{align*}$

$\begin{align*} \int \! cosh^2(u) \, du = sinh(u) \cdot cosh(u) - \int \! sinh^2(u) \, du \end{align*}$

$\begin{align*} \int \! cosh^2(u) \, du = sinh(u) \cdot cosh(u) - \int \! (cosh^2(u) - 1) \, du \end{align*}$

und jetzt weiter.

18.02.2015, 14:03

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin doch ein richtiger Dussel und kann nicht mal die Formel der partiellen Integration richtig lesen. Sowas ärgert mich. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Also auf ein Neues:
$\begin{eqnarray*} \int \! cosh^2(u)\,du=sinh(u)*cosh(u)-\int \! sinh^2(u)\,du = sinh(u)*cosh(u)-\int \! (cosh^2(u)-1)\,du=sinh(u)*cosh(u)-\int \! cosh^2(u)\, du +\int \! du = \frac{sinh(u)*cosh(u)+x}{2} \end{eqnarray*}$

18.02.2015, 14:11

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DrHWI
Also auf ein Neues:
$\begin{eqnarray*} \int \! cosh^2(u)\,du= . . . = \frac{sinh(u)*cosh(u)+x}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn du noch anstatt x ein u nimmst ist das richtig.

Fassen wir bis hierhin nochmal zusammen:

Wir haben das Integral $\begin{align*} \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \! \sqrt{1+t^2} \, dt \end{align*}$

Integrale der Form $\begin{align*} \int \! \sqrt{1+t^2} \, dt \end{align*}$ lassen sich substituieren,
indem man den Zusammenhang $\begin{align*} 1 + sinh^2(u) = cosh^2(u) \end{align*}$ nutzt.

Die Substitution lautet: $\begin{align*} t = sinh(u) \end{align*}$ und $\begin{align*} dt = cosh(u) du \end{align*}$

Nach Substitution und Ausrechnen erhält man $\begin{align*} \int \! cosh^2(u) \, du \end{align*}$
das mit partieller Integration gelöst werden kann. Das Ergebnis ist dann

$\begin{align*} \int \! cosh^2(u) \, du = \frac{1}{2} ( u + sinh(u) \cdot cosh(u)) \end{align*}$ und
$\begin{align*} \frac{1}{2} \int \! cosh^2(u) \, du = \frac{1}{4} ( u + sinh(u) \cdot cosh(u)) \end{align*}$

Der nächste Schritt ist die Rücksubstitution. Zur Vorbereitung nochmal die Substitution:
$\begin{align*} t = sinh(u) \end{align*}$ die Umkehrfunktion lautet: $\begin{align*} u = arcsinh(t) \end{align*}$

Setzt man die Umkehrfunktion $\begin{align*} u = arcsinh(t) \end{align*}$ in die Ausgangsfunktion ein, so erhält man
$\begin{align*} t = sinh(u) = sinh(arcsinh(t)) \end{align*}$

Für den ersten Summanden u (in der Klammer) kann man die Rücksubstitution direkt ablesen, nämlich $\begin{align*} u = ? \end{align*}$

18.02.2015, 21:04

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Also es würde sich sinh(arcsinh(t)) * cosh(arcsinh(t))+arcsinh(t) ergeben.
Und da vom sinushyperbolicus der areasinushyperbolicus die Umkehrfunktion ist, heben die beiden sich wahrscheinlich auf?
Also bleibt über
t*cosh(arcsinh(t))+arcsinh(t)?

18.02.2015, 21:30

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's! Big Laugh

Big Laugh

Ich habe eben nochmal ein wenig recherchiert, wie sich cosh(arcsinh(t)) zueinander verhalten. In meinem vorherigen Post sprach ich noch darüber, dass sich sinh und arcsin zusammen aufheben und komme dann nicht auf die Idee, den cosh(arcsinh(t)) über Pythagoras zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+sinh^2(arcsinh(t))} \end{eqnarray*}$ umzuformen! smile

smile

Damit heben sich ja nun wieder beide Funktionen auf und was bleibt ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+t^2} \end{eqnarray*}$ .

Mein Integral heißt also
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}[t*\sqrt{1+t^2}+arcsinh(t)] \end{eqnarray*}$ von 0 bis 2! Prost

Prost

Aber woher kommen die 0.5 am Anfang? Bisher konnten mir auch meine Kommilitonen keine Auskunft darüber geben... unglücklich

unglücklich

18.02.2015, 22:05

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zur Bogenlänge inklusive Integration
Ja, super!

Jetzt noch der letzte Punkt vom Anfang:

Zitat:

Original von DrHWI

Ich bilde also die erste Ableitung $\begin{eqnarray*} y'=2x \end{eqnarray*}$ mit t=y', t=2x, dt= 2dx.
Und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \sqrt{1+4x^2} \, dx = \int_{2*0=0}^{2*1=2} \! \sqrt{1+t^2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} \int_{0}^{1} \! \sqrt{1+4x^2} \, dx = \int_{0}^{1} \! \sqrt{1+(2x)^2} \, dx \end{align*}$

Substitution: $\begin{align*} t = 2x \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{dt}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{dt}{2} \end{align*}$

Einsetzen:

$\begin{align*} \int_{0}^{1} \! \sqrt{1+(2x)^2} \, dx = \int_{0}^{2} \! \sqrt{1+t^2} \, \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \! \sqrt{1+t^2} \, dt \end{align*}$

Ich hoffe, das hilft.

18.02.2015, 22:07

DrHWI

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaach! Oh nein, das war's nur... unglücklich

unglücklich

Ich sehe wirklich keine Zusammenhänge. Vielen, vielen Dank aber für die sehr aufwendige Hilfe! Ich gehe die Aufgabe jetzt noch einmal ohne Hilfestellung durch, um mir alles etwas einzuprägen.
Dankeschön, die Erklärungen und Tipps waren wirklich sehr hilfreich! smile

smile

Gott

18.02.2015, 22:12

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »