Genau eine lineare Abbildung?

17.02.2015, 19:15	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau eine lineare Abbildung? ich habe hier eine Aufgabe wo ich bei einer linearen Abbildung T: R^3 -> R^3 in beiden Vektorräumen jeweils 3 Vektoren habe: x1 = (0,0,1)^T, x2 = (0,1,0)^T, x3 = (1,1,1)^T y1 = (1,0,1)^T, y2 = (1,1,0)^T, y3 = (2,1,1)^T Zeigen Sie: es gibt genau eine lineare Abbildung T: R^3 -> R^3 mit T(x i) = y i (mit i meine ich den index ...) Ich habe ein Problem mit der Formulierung "genau eine lineare Abbildung" Ich habe einfach die lineare Abbildung bestimmt mit der Regel, dass für T(x) = A*x, wobei A eine Matrix ist. Die Matrix so geschrieben werden kann: A = (e1 e2 e3) wobei e die kanonischen Basisvektoren sind. Das hab ich dann halt bestimmt, und dann das y rausbekommen. Frage 1: Muss ich jetzt noch die x Vektoren in die Abbildung einfügen damit ich das bewiesen habe? Und wenn ja, warum? Frage 2: (die wichtigere Frage): Ist das überhaupt die Lösung? Und wenn ja warum? Ich meine, ich verstehe nicht warum ich damit bewiesen habe, dass es GENAU EINE lineare Abbildung gibt. Hätte die Aufgabe dann nicht auch lauten können: "Bestimmen sie die lineare Abbildung" ? vielen Dank im Vorraus!
17.02.2015, 19:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dich richtig verstanden habe hast du gezeigt, dass es zu einer Abbildung, die eine Basis B des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ auf 3 Vektoren abbildet, eine Matrix A gibt, die vermöge Matrixmultiplikation die Standardbasis auf 3 Vektoren abbildet. Das ist prima, aber ein Beweis für die Existenz und Eindeutigkeit einer linearen Abbildung ist das nicht.
17.02.2015, 19:48	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie beweist man das denn? Ich sehe davon gar nichts in meinem Skript.
17.02.2015, 20:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man definiert eine Abbildung als Fortsetzung der gegebenen Abbildung auf der Basis durch $\begin{eqnarray} T(x)=T(\sum a_ix_i):=\sum a_iT(x_i) \end{eqnarray}$ . Dann beweist man, dass diese Abbildung linear ist. Damit ist die Existenz gezeigt. Nimmt man an, dass es eine weitere lineare Abbildung $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ gibt, die dieselben Bilder auf den Baisvektoren hat, muss man nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} S(x)=T(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gilt.

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