kürzester Abstand Gerade Nullpunkt

18.02.2015, 12:08	Eva Bumblebee	Auf diesen Beitrag antworten »
kürzester Abstand Gerade Nullpunkt Meine Frage: Bestimme den kürzesten Abstand a (in der Euklidischen Norm) der Geraden $\begin{eqnarray} \vec{g}(x)= \begin{pmatrix} 1+x \\ -x \\ 1+2x \end{pmatrix} <br /> x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ vom Nullpunkt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \| \vec{g} \| = \sqrt{(1+x)^2+(-x)^2+(1+2x)^2} <br /> <br /> =\sqrt{6x^2+6x+2} \end{eqnarray}$ ab jetzt weiß ich nicht mehr genau weiter, wie geht die Rechnung weiter und wie schreibe ich sie mathematisch korrekt auf?
18.02.2015, 12:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine Funktion, die von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt und willst diese minimieren. Das geht wie immer in solchen Fällen: Ableiten, Ableitung nullsetzen, ... Tipp: Da $\begin{eqnarray} x\mapsto\sqrt{x} \end{eqnarray}$ streng monoton steigend ist, kannst du auch die Minimalstelle von $\begin{eqnarray} 6x^2+6x+2 \end{eqnarray}$ bestimmen (das ist weniger Rechnerei). Das ist dann auch die Minimalstelle von $\begin{eqnarray} \sqrt{6x^2+6x+2} \end{eqnarray}$ .
18.02.2015, 12:46	Eva Bumblebee	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} d(x)=6x^2+6x+2<br /> <br /> d'(x)=12x+6 <br /> <br /> d'(x)=0 => x=-1/2 <br /> <br /> d(-1/2)=1/2 \end{eqnarray}$ Richtig? Fertig?
18.02.2015, 12:50	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das x hast du richtig bestimmt. Aber um dann den Abstand zu berechnen, musst du wieder in die Wurzel einsetzen, da darf sie nicht mehr weggelassen werden. Das Weglassen der Wurzel war ja nur ein "Trick", um das Bestimmen der Extremstellen zu vereinfachen (weil wir wissen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{6x^2+6x+2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 6x^2+6x+2 \end{eqnarray}$ die gleichen Extremstellen haben). Der Funktionswert ist aber natürlich ein anderer.
18.02.2015, 13:00	Eva Bumblebee	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{6(-\frac{1}{2})^2+6(-\frac{1}{2})+2 }=\frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray}$ So?
18.02.2015, 13:01	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
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18.02.2015, 13:04	Eva Bumblebee	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön!!!
18.02.2015, 13:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei quadratischen Funktionalen wie hier muss man übrigens nicht das Analysis-Kalkül anfahren (beiläufig bemerkt: Wieso ist das mit Ableitung=0 ein Minimum? Könnte es nicht ein Maximum sein? ): $\begin{align} \left\| \vec{g} \right\| = \sqrt{6x^2+6x+2} = \sqrt{6\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{2}} \end{align}$ mit Gleichheit bei $\begin{align} x=-\frac{1}{2} \end{align}$ .

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