Summe Logarithmengesetze

18.02.2015, 12:33

Eva Bumblebee

Summe Logarithmengesetze

Meine Frage:
Berechne unter Verwendung der Logarithmengesetze die endliche Summe
$\begin{eqnarray*} s:=\sum\limits_{k=1}^{99} lg(1+1/k) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Idee :-( ein Tipp wäre super hilfreich!

18.02.2015, 12:36

HAL 9000

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Erinnere dich an das Logarithmengesetz $\begin{align*} \lg\left( \frac{a}{b} \right) = \lg(a) - \lg(b) \end{align*}$ , und bringe vorher $\begin{align*} 1+\frac{1}{k} \end{align*}$ auf so einen gemeinsamen Bruchstrich $\begin{align*} \frac{a}{b} \end{align*}$ .

18.02.2015, 13:16

Eva Bumblebee

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$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{k} =\frac{k+1}{k} <br /> => lg(1+\frac{1}{k})=lg(\frac{k+1}{k})=lg(k+1)-lg(k)= lg(99+1)-lg(1)=2 \end{eqnarray*}$

So?

18.02.2015, 13:19

HAL 9000

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Wenn du mit $\begin{eqnarray*} s=\lg(99+1)-\lg(1)=2 \end{eqnarray*}$ das Endergebnis der Aufgabe meinst, dann stimme ich zu. Was die mathematische Form betrifft, so muss ich in

Zitat:

Original von Eva Bumblebee
$\begin{eqnarray*} lg(1+\frac{1}{k})=lg(\frac{k+1}{k})=lg(k+1)-lg(k)~{\color{red}=}~lg(99+1)-lg(1)=2 \end{eqnarray*}$

das Gleichheitszeichen $\begin{eqnarray*} {\color{red}=} \end{eqnarray*}$ rigoros ablehnen - so nicht. unglücklich

18.02.2015, 13:23

Eva Bumblebee

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Stimmt, so ist es falsch! Hammer

Wie schreibe ich es denn korrekt auf?

18.02.2015, 13:37

HAL 9000

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Na es ist zunächst mal eine Summe, und bei einer Summe darf man nicht einfach "=" schreiben und dabei das Summenzeichen weglassen...

Ansonsten ist sowas wie hier unter dem Stichwort Teleskopsumme bekannt.

18.02.2015, 13:52

Eva Bumblebee

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{99} lg(k+1)-lg(k)=lg(1+1)-lg(1)+lg(2+1)-lg(2)+lg(3+1)-lg(3)+...+lg(99+1)-lg(99) \end{eqnarray*}$

und jetzt bleibt am Ende nur noch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{99} lg(k+1)-lg(k)=-lg(1)+lg(99+1)=2 \end{eqnarray*}$

übrig, weil alles andere Null wird.

18.02.2015, 13:58

HAL 9000

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Ja, das ist das Prinzip einer Teleskopsumme.

Noch eine kleine Kritik: Genau genommen ist vorn noch ein Klammerpaar nötig, d.h. $\begin{align*} \sum_{k=1}^{99} (\lg(k+1)-\lg(k)) \end{align*}$ .

18.02.2015, 14:02

Eva Bumblebee

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Okay, ich werds mir merken! smile

Vielen Dank!

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