Primideal, Primzahl

18.02.2015, 13:00

StrunzMagi

Primideal, Primzahl

Es sei p eine Primzahl.Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \{a/b|a,b \in \mathbb{Z},p|a, p \not|b \} \end{eqnarray*}$ ein Primideal des Ringes $\begin{eqnarray*} R:=\{a/b|a,b \in \mathbb{Z}, p\not| b \} \end{eqnarray*}$ ist.

Hallo,
Dass $\begin{eqnarray*} \{a/b|a,b \in \mathbb{Z}, p \not|b \} \end{eqnarray*}$ ein Ring ist wurde schon in einer früheren Aufgabe gezeigt.
Definiere P:= $\begin{eqnarray*} \{a/b|a,b \in \mathbb{Z},p|a, p \not|b \} \end{eqnarray*}$

1) P Ideal von R
-) $\begin{eqnarray*} P \subseteq R \end{eqnarray*}$
-) $\begin{eqnarray*} P \not=\emptyset \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} p/1 \in P \end{eqnarray*}$
-) $\begin{eqnarray*} x,y \in P : x-y=\frac{a_1}{b_1}-\frac{a_2}{b_2}=\frac{b_2a_1-a_2b_1}{b_1b_2} \in P \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} p \not| b_1 \wedge p \not| b_2 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} p|b_1b_2 \end{eqnarray*}$ würde folgen, da p eine Primzahl ist: $\begin{eqnarray*} p|b_1 \vee p|b_2 \end{eqnarray*}$ . Wid. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow p \not| b_1b_2 \end{eqnarray*}$
Aus $\begin{eqnarray*} p|a_1, p|a_2 \Rightarrow p|b_2a_1-a_2b_1 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \end{eqnarray*}$

-) $\begin{eqnarray*} x \in P, r \in R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{a_1}{b_1}, r=\frac{a_2}{b_2}, p|a_1, p\not| b_1,p\not| b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} rx=xr=\frac{a_1}{b_1}\frac{a_2}{b_2}= \frac{a_1 a_2}{b_1 b_2} \in P \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} p\not|b_1b_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p|a_1a_2 \end{eqnarray*}$

2) P Primideal von R
-) $\begin{eqnarray*} P\not= R \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} \frac{p-1}{1} \in R, \frac{p-1}{1} \not\in P \end{eqnarray*}$

-) $\begin{eqnarray*} xy\in P \end{eqnarray*}$ ZuZeigen: $\begin{eqnarray*} x \in P \vee y \in P \end{eqnarray*}$ ( für $\begin{eqnarray*} x,y \in R \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} xy=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Z}, p|a, p\not|b \end{eqnarray*}$
Ich stecke ich leider... Habt ihr einen Rat für mich?

Liebe Grüße

18.02.2015, 13:05

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} xy=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Z}, p|a, p\not|b \end{eqnarray*}$

das ist kein sinnvoller Ansatz:
x=a/b, y=c/d und xy liegt in P.
Und damit folgt die Behauptung direkt aus p prim.

18.02.2015, 14:27

StrunzMagi

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Hallo,
Danke, da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf!
Liebe Grüße

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