Was sind erzeugte Ideale bzw. erzeugnde Elemente im Zusammenhang mit Polynomringen?

18.02.2015, 13:25

brushmate

Was sind erzeugte Ideale bzw. erzeugnde Elemente im Zusammenhang mit Polynomringen?

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} f(T) := 2 + 2T + T2 \in \mathbb{Z}_{3}[T] \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass das Polynom $\begin{eqnarray*} f(T) \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist.

Ferner sei $\begin{eqnarray*} m \subset \mathbb{Z}_{3}[T] \end{eqnarray*}$ das von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{3}[T] \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal und $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_9 := \mathbb{Z}_3[T]/m \end{eqnarray*}$ der Körper mit 9 Elementen.

b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (2T + 1) + m \in \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ ein erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe
$\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_{9}^{\ast},\cdot) \end{eqnarray*}$ ist.

c) Welche Ordnung hat das Element $\begin{eqnarray*} (2T + 2) + m \in \mathbb{F}_9 \end{eqnarray*}$ in der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_{9}^{\ast},\cdot) \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
a) kann man leicht zeigen. Da $\begin{eqnarray*} grad(f) = 2 \end{eqnarray*}$ ist, können mögliche Teiler nur den Grad 1 haben. Man müsste $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also in dieser Form schreiben können: $\begin{eqnarray*} f(T) = (aT + b)(\alpha T + \beta) = a\alpha T^2 + (a\beta + \alpha b)T + b\beta \end{eqnarray*}$ . Durch Koeffizientenvergleich erhält man dann folgende Gleichungen: $\begin{eqnarray*} b\beta = 2, a\beta +\alpha b = 2, a\alpha = 1 \end{eqnarray*}$ . Also müsste $\begin{eqnarray*} b = 1 \wedge \beta = 2 \end{eqnarray*}$ (oder umgekehrt) gelten. Daraus folgt dann aber: $\begin{eqnarray*} 2a + \alpha = 2 \end{eqnarray*}$ und die einzige Lösung in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a = 2 \wedge \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 1 = 2 \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist, ist das Polynom irreduzibel.

Bei b) und c) weiß ich leider nicht wirklich, wie ich vorgehen muss. Bei c) weiß ich nur, dass ich das Element so lange potenzieren muss, bis das neutrale Element 1 heraus kommt. Aber leider habe ich keine Ahnung, was ich mir unter diesem Element vorstellen kann.

In der Aufgabenstellung steht ja "Ferner sei $\begin{eqnarray*} m \subset \mathbb{Z}_{3}[T] \end{eqnarray*}$ das von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{3}[T] \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal". Was ein Ideal ist, glaube ich zu wissen. Aber wie erzeugt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dieses Ideal?

Weiter steht dort " $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[T]/m \end{eqnarray*}$ ". Das sieht für mich aus wie ein Restklassenring modulo m. Allerdings ist m ja eine Menge und man kann nicht modulo eine Menge rechnen, oder?

Es wäre nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

18.02.2015, 13:37

Captain Kirk

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RE: Was sind erzeugte Ideale bzw. erzeugnde Elemente im Zusammenhang mit Polynomringen?
Hallo,

Zitat:

Original von brushmate
a) kann man leicht zeigen. Da $\begin{eqnarray*} grad(f) = 2 \end{eqnarray*}$ ist, können mögliche Teiler nur den Grad 1 haben.

Das ist richtig, danach wirds extrem umständlich. Es reicht schlich zu zeigen, dass es keine Nullstellen gibt.

Zitat:

In der Aufgabenstellung steht ja "Ferner sei $\begin{eqnarray*} m \subset \mathbb{Z}_{3}[T] \end{eqnarray*}$ das von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{3}[T] \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal". Was ein Ideal ist, glaube ich zu wissen. Aber wie erzeugt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dieses Ideal?

Das von A erzeugte Ideal ist das kleinste Ideal, das A enthält.

Zitat:

Weiter steht dort " $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[T]/m \end{eqnarray*}$ ". Das sieht für mich aus wie ein Restklassenring modulo m. Allerdings ist m ja eine Menge und man kann nicht modulo eine Menge rechnen, oder?

Bitte schlag im Skript das Konzept: Quotient eines Ringes (auch bekannt als Faktorring) nach. (und erinnere dich an Quotientebvektorräume, Quotientengruppen etc.)
Das ist eines der wichtigsten Konzepte der Algebra

18.02.2015, 15:59

RavenOnJ

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RE: Was sind erzeugte Ideale bzw. erzeugnde Elemente im Zusammenhang mit Polynomringen?

Zitat:

Original von brushmate

Bei c) weiß ich nur, dass ich das Element so lange potenzieren muss, bis das neutrale Element 1 heraus kommt.

Dann potenzier doch einfach mal $\begin{align*} 2T+1 \end{align*}$ modulo $\begin{align*} T^2+2T+2 \end{align*}$ . Du wirst dann schon sehen, dass es für $\begin{align*} (2T+1)^n \end{align*}$ acht Polynome gibt und welches x die Gleichung $\begin{align*} (2T+1)^x= 2T+2\!\!\!\!\mod\!\!\!\ T^2+2T+2 \end{align*}$ löst.

19.02.2015, 13:12

brushmate

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So ich denke, dass ich jetzt weiß, wie ich die Aufgaben lösen muss.

Zu b): Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ja wie in a) gezeigt irreduzibel ist, gilt $\begin{eqnarray*} ord(\mathbb{F}_{9}^{\ast}) = 8 \end{eqnarray*}$ . Also müssten die ersten 8 Potenzen von dem Element $\begin{eqnarray*} (2T + 1) + m \end{eqnarray*}$ (modulo $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) alle anderen Elemente der Gruppe erzeugen, richtig? Das habe ich dann mal gemacht:

$\begin{eqnarray*} ((2T + 1) + m)^1 = 2T + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2T + 1) + m)^2 = 2T + 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2T + 1) + m)^3 = T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2T + 1) + m)^4 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2T + 1) + m)^5 = T + 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2T + 1) + m)^6 = T + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2T + 1) + m)^7 = 2T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2T + 1) + m)^8 = 1 \end{eqnarray*}$

Reicht das denn so als Lösung für die Aufgabe?

Zu c): Durch probieren habe ich herausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} ((2T + 2) + m)^4 = 1 mod f \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} ord((2T + 2) + m) = 4 \end{eqnarray*}$ .

Gibt es vielleicht Methoden, mit denen man die Aufgaben schneller lösen kann? In einer anderen Aufgabe, die vom Aufbau her gleich ist, geht es nämlich um $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray*}$ und der Körper, um den es in b) und c) geht, hat dann 25 Elemente. Ich müsste in b) also 24 Potenzen berechnen, was ja relativ zeitaufwendig ist.

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