Partialbruchzerlegung

18.02.2015, 14:34

möchtegern15

Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
So, ich dachte eigentlich ich hätte das mit der Partialbruchzerlegung verstanden, aber naja.
Hier diese Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}+1 }{x\left(x^{2}+1 \right) } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So, Polynomdivision muss man ja nicht machen da Grad Zähler < Grad Nenner.

Dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}+1 }{x\left(x^{2}+1 \right) } =\frac{A}{x}+ \frac{B}{x^{2} +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =3x^{2}+1 = A\cdot \left( x^{2}+1 \right) + B\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =3x^{2}+1 = A\cdot x^{2}+A + B\cdot x \end{eqnarray*}$

Und da gibt es ja dann irgendwie keine Lösung, weil A=3 sein muss und gleichzeitig A=1...

Bzw. jetzt bin ich rade auf die Idde gekommen, dass man (x²+1) vielleicht noch in eine weitere Klammer aufteilen könnte, aber wie? :/ Weil binomische Formel ist es ja nicht...
Danke

18.02.2015, 14:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von möchtegern15
Dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}+1 }{x\left(x^{2}+1 \right) } =\frac{A}{x}+ \frac{B}{x^{2} +1} \end{eqnarray*}$

Hier ist der Ansatz falsch. Hat man ein quadratisches Polynom im Nenner, dann braucht man ein lineares im Zähler. Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2}+1 }{x\left(x^{2}+1 \right) } =\frac{A}{x}+ \frac{Bx+C}{x^{2} +1} \end{eqnarray*}$ smile

18.02.2015, 14:54

möchtegern15

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung
Achso okay smile

Und wenn man also ein Polynom dritten Grades im Nenner hat, braucht man dann auch ein quadratisches Polynom im Zähler?

Und was ist wenn man im Nenner bspw. : $\begin{eqnarray*} x\left(x+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$ stehen hat? Dann ist das ja mit der "doppelten Nullstelle" und man muss den Nenner so aufteilen: $\begin{eqnarray*} x+\left(x+1\right)+ \left(x+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$

Dann hat man ja da theoretisch auch im dritten Teil ein quadratisches Polynom.. Aber so wie ich das verstanden habe muss man da im Zähler auch nur einfach wieder C stehen haben, oder?

18.02.2015, 15:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von möchtegern15
Achso okay smile

Und wenn man also ein Polynom dritten Grades im Nenner hat, braucht man dann auch ein quadratisches Polynom im Zähler?

Ein Polynom 3. Grades hat wieder wenigstens eine Nullstelle. Bei der Partialbruchzerlegung tauchen im Nenner nur lineare Polynome oder quadratische Polynome ohne Nullstellen sowie Potenzen davon auf.

Zitat:

Original von möchtegern15
Und was ist wenn man im Nenner bspw. : $\begin{eqnarray*} x\left(x+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$ stehen hat? Dann ist das ja mit der "doppelten Nullstelle" und man muss den Nenner so aufteilen: $\begin{eqnarray*} x+\left(x+1\right)+ \left(x+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$

Dann hat man ja da theoretisch auch im dritten Teil ein quadratisches Polynom.. Aber so wie ich das verstanden habe muss man da im Zähler auch nur einfach wieder C stehen haben, oder?

Dein Hinweis ist richtig. Ich war da mit meiner Anmerkung etwas ungenau. Die bezog sich auf den Fall "quadratische Polynome ohne Nullstellen".

18.02.2015, 17:13

möchtegern15

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung
Ah okay,

also nochmal: so wie du das in deinem ersten Beitrag geschrieben hast ist es für diese Aufgabe richtig?

Und in dem anderen Fall mit x, (x+1), (x+1)² stehen im Zähler nur A,B und C?

19.02.2015, 08:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung
Beides mal: ja. smile

Neue Frage »

Antworten »

Partialbruchzerlegung

Verwandte Themen