Taylorpolynom aus Taylorreihe ablesen

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Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom aus Taylorreihe ablesen
Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe:

Geben Sie die Taylorpolynome T0 T1 T2 und T3 von um X0=0 an.

Die Funktion der Reihe lautet x * arctan(x).

Meine Ideen:
Ich habe versucht die ersten 3 Ableitungen zu bilden. Dies ist aber ein furchtbares Gewurschtel und führt leider zu gar nichts. In der Lösung steht nur:

Die Polynome lassen sich unmittelbar aus der Reihe ablesen:

T0 = 0 T1 = 0 T2 = x^2 T3 = x^2

Ähm ja... klar! Also ich sehe beim besten Willen nicht, wie man da diese Polynome ablesen kann. Wer kann mir bitte bitte helfen? Durch das dreimalige Ableiten und aufstellen der Reihe scheint es ja wohl nicht zu funktionieren...

Ich probiere das jetzt schon seit 3 Tagen und bin langsam aber sicher am Ende, also bitte VERSTÄNDLICHE Erklärungen zum Ablesen... Vielen Dank.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, vielleicht musst du mal deine Brille putzen: Ich sehe in der Darstellung



durchaus die Taylorreihe, und zwar ganz hinten. Die zugehörigen Taylorpolynome sind einfach die Partialsummen dieser Reihe, d.h. abgebrochen bei der entsprechenden Maximalpotenz:

weil "leere" Summe.







usw.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Tipp mit der Brille, auch wenn ich gar keine habe Hammer

Dass das hinten die Taylorreihe ist, ist mir vollkommen klar. Nur wie kommst du auf x^2? Wie auf 0?

Was setzt du denn wo ein, um das Polynom rauszubekommen?
Magix Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Seppelkoi,

ich glaube du versuchst an der falschen Stelle abzuleiten.

In der Aufgabenstellung, die du uns hier zeigst, steht ja schon, dass die Funktion der gegebenen Reihe eben ist. Diese Funktion als Reihenentwicklung hast du oben stehen.

Es gilt:



Daraus ergibt sich also:





Dies ist also unsere Taylorreihe. Jetzt musst du nurnoch ablesen.


Edit: Huch, da war ich zulangsam. Bin raus smile
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich 1 für k einsetze, dann kommt x^2 raus. Aber warum ist das das Polynom T2 und T3? Das meine ich.

Warum nicht

k=1 => T1
k=2 => T2

usw.?

Das raff ich einfach net.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich hast du den Nebensatz überlesen:

Zitat:
Original von HAL 9000
d.h. abgebrochen bei der entsprechenden Maximalpotenz:

Die Maximalpotenz innerhalb ist , die in ist .

Brichst du die obige Taylorreihe aber erst mit Index k=2 ab, so hast du diesen Summand mit drin - eindeutig "zu hoch" in der Potenz für und auch . Jetzt muss aber langsam mal die Erleuchtung Idee! kommen, oder immer noch nicht?


Jedes zweite Glied dieser Taylorreihe ist gleich Null, vielleicht hilft es dir, wenn ich diese Taylorreihe mal so schreibe:



Die obige Summendarstellung erfasst nur die geraden Potenzen - die ungeraden tragen nix zur Reihe bei, da ihr Wert gleich Null ist. Dennoch gehören sie dazu, wenn man die Taylorpolynome aufstellt.
 
 
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir kommen Erleuchtungen halt nicht so schnell... Deswegen bat ich ja um etwas Verständliches. Ich verstehe nicht, warum du mit "Brille putzen" und "Erleuchtung" so unbehaglich auf meinem geringen Kenntnisstand rumhacken musst.

Nun noch meine letzte Frage:

Die Zuordnung der einzelnen Polynome kommt also wegen dem Grad zustande, das bedeutet, in T1 darf nur x alleine ohne Potenz stehen? Oder ist das bei jeder Reihe anders? Das muss man doch irgendwie erkennen!

Nehmen wir mal die Reihe von sinh(x):



Da wäre dann für k=1 eine 3er Potenz x^3, also wäre T0 = T1 = T2 = x und T3 = T4 = x^3?

Wenn das jetzt richtig ist, hab ich kapiert smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das "Brille putzen" bezog sich darauf, weil du allen Ernstes nochmal ableiten wolltest - da dachte ich, du hast die bereits vorliegende Reihendarstellung schlicht übersehen. Aber wenn du so überempfindlich bist, dann sollte ich vielleicht besser verschwinden? verwirrt

Zitat:
Original von Seppelkoi
Nehmen wir mal die Reihe von sinh(x):



Da wäre dann für k=1 eine 3er Potenz x^3, also wäre T0 = T1 = T2 = x und T3 = T4 = x^3?

Nein, in weiten Teilen falsch: Es ist



und somit









.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mein Ansatz für diese Aufgabe war:

Hey, ich bilde die Ableitungen und stelle die Reihe einfach nochmal auf, dann hab ich ja die Polynome! smile

Aber da wusste ich noch nicht, dass sich das Ableiten der Funktion als so schwierig erweisen sollte Big Laugh

Ich habe diesen Schritt mit dem Ablesen noch nicht gemacht bisher, deswegen verwirrt es mich so krass. Tut mir leid.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Haben meine künstlichen "Nulleneinfügungen" nun wenigstens etwas Verständnis in die Sache gebracht?
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse nochmal für mich selbst zusammen, und dann kannst du ja sagen, ob ich es wirklich begriffen habe:

Taylorreihe allgemein => f(x0) + f´(x0)(x-x0) usw.... Dies ist klar.

Wenn ich die Reihe in Summenschreibweise mit k ausrechne, bekommt man bei manchen Reihen "Lücken" in den Potenzen, wie z.B. erst x, dann x^3, dann x^5 usw.

T0 ist die Funktion bei x0 ODER "leere" Summe, bei sinh(x0) mit x0=0 kommt 0 raus, also T0 = 0 smile

T1 = T0 + Ergebnis der Summenschreibweise mit k eingesetzt, vorausgesetzt es handelt sich um ein "x^1"

T2= T0 + T1 + Ergebnis der Summenschreibweise mit k eingesetzt, vorausgesetzt es handelt sich um ein "x^2", ANSONSTEN (im Falle einer Lücke) wird hier x^2 = 0, somit also T0+ T1 + 0, also verändert sich hier der Wert nicht!

Und so weiter. hab ich es verstanden? Wenn ja, vielen vielen Dank smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir leben vermutlich auf verschiedenen Verständnisplaneten: Eine Formulierung wie "Ergebnis der Summenschreibweise mit k eingesetzt" kann ich einfach nicht bestätigen, weil sie m.E. einfach grauenhaft ungenau und in höchstem Grade missverständlich ist. unglücklich


Ich versuch's nochmal in Formeln: Zur Taylorreihe gehören die Taylorpolynome .

Was dich ins Schleudern gebracht hat (oder immer noch bringt) sind solche "Null-Glieder", wie in deinem Fall .
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab es für mich selbst nochmal durchgerechnet und ich komme nun auch auf das in meiner Lösung angegebene Ergebnis!!

Super smile smile Tanzen
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000


Was dich ins Schleudern gebracht hat (oder immer noch bringt) sind solche "Null-Glieder", wie in deinem Fall .


Genau das war es! Wusste nicht, wie ich damit umgehe, aber die beeinflussen das Polynom einfach nicht und deswegen kann es verschiedene Polynome geben, die den selben Wert haben smile

Ich hab dich schon verstanden denke ich, ich kann mich nur nicht so gut ausdrücken wie du.
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