Integrationsreihenfolge vertauschen

18.02.2015, 19:08

Lucho

Integrationsreihenfolge vertauschen

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_y^1 e^{x^2} dx dy \end{eqnarray*}$

Dieses Integral soll berechnet werden. Als Tipp ist gegeben, die Integrationsreihenfolge zu vertauschen, da dies auf eine einfachere Rechnung führe. Bevor ich mir also überhaupt Gedanken mache, wie ich vorzugehen habe, verstehe ich bereits den Tipp nicht. Integrationsreihenfolge kann man doch nur bei konstanten Grenzen vertauschen? y sieht mir nicht nach einer Konstanten aus. verwirrt

18.02.2015, 19:13

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ich auch so sehen.

18.02.2015, 19:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Dem kann abgeholfen werden, durch Einführung einer passenden Indikatorfunktion:

$\begin{align*} \int\limits_0^1 \int\limits_y^1 e^{x^2} ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 1_{\{x\geq y\}}\cdot e^{x^2} ~ \dd x ~ \dd y \end{align*}$ .

18.02.2015, 19:24

Lucho

Auf diesen Beitrag antworten »

Indikatorfunktion? Hmm, das haben wir nicht gemacht. In der Aufgabenstellung wird auch suggeriert, dass man das ohne Weiteres vertauschen könne. Wortwörtlich: "Argumentieren Sie, dass das Vertauschen erlaubt ist." verwirrt

18.02.2015, 19:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Indikatorfunktion ist eine bewährte Möglichkeit, das mit dem dreieckigen Integrationsgebiet

zu begreifen. Kannst natürlich gern auch nach anderen suchen, aber wie auch immer du das tun willst, das Problem ist irgendwann anzugehen.

19.02.2015, 04:33

Lucho

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integrationsreihenfolge vertauschen
Ich habe mir ein paar Gedanken gemacht und recherchiert und bin im Forum auf eine ähnliche Problemstellung gestolpert: matheboard.de/thread.php?threadid=384208 Anderer Integrand, aber gleiches Integrationsgebiet. Die erste Antwort von klarsoweit ohne Indikatorfunktion scheint auch zum Ziel zu führen. Ich verstehe die Handhabung mit den Grenzen trotzdem nicht so ganz 100 %, da klarsoweit sich etwas kurz gefasst hat.

So wie es hier steht:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_y^1 e^{x^2} dx dy \end{eqnarray*}$

lese ich das als:

$\begin{eqnarray*} G = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq x \leq 1; 0 \leq y \leq 1\} \end{eqnarray*}$

Das kann man ja auch schreiben als:

$\begin{eqnarray*} G = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq y \leq x \leq 1\} \end{eqnarray*}$

Also kann man das jetzt einfach rauslesen als dy von 0 bis x und entsprechend dx von 0 bis 1? Ist das einfach nur Umschreiben, das man immer so machen kann?

Danke schonmal im Voraus für weitere Unterstützung. Freude

19.02.2015, 07:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lucho
Also kann man das jetzt einfach rauslesen als dy von 0 bis x und entsprechend dx von 0 bis 1?

Es stimmt so geschrieben nur dann, wenn man klar und deutlich kennzeichnet, welche der beiden Variablen x,y für innere und welche für äußere Integration steht.

Neue Frage »

Antworten »

Integrationsreihenfolge vertauschen

Verwandte Themen